Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101365 / 97926
↖ ↑ ↗
← S 66.096043°
E 98.407288°		 ← 123.73 m → S 66.096043°
E 98.410034°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
S 66.097156°
E 98.407288°		 ← 123.73 m →
15 309 m²		 S 66.097156°
E 98.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773357391357422 y=0.747119903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773357391357422 × 217)
    floor (0.773357391357422 × 131072)
    floor (101365.5)     		tx = 101365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747119903564453 × 217)
    floor (0.747119903564453 × 131072)
    floor (97926.5)     		ty = 97926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101365 / 97926 ti = "17/101365/97926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101365/97926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101365 ÷ 217
    101365 ÷ 131072     		x = 0.773353576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97926 ÷ 217
    97926 ÷ 131072     		y = 0.747116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773353576660156 × 2 - 1) × π
    0.546707153320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71753118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747116088867188 × 2 - 1) × π
    -0.494232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55267617869362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71753118} λ = 1.71753118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55267617869362))-π/2
    2×atan(0.211680719696685)-π/2
    2×0.208601379434079-π/2
    0.417202758868158-1.57079632675     		φ = -1.15359357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71753118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.407288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15359357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.096043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101365 KachelY 97926 1.71753118 -1.15359357 98.407288 -66.096043
    Oben rechts KachelX + 1 101366 KachelY 97926 1.71757911 -1.15359357 98.410034 -66.096043
    Unten links KachelX 101365 KachelY + 1 97927 1.71753118 -1.15361299 98.407288 -66.097156
    Unten rechts KachelX + 1 101366 KachelY + 1 97927 1.71757911 -1.15361299 98.410034 -66.097156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15359357--1.15361299) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dl = 123.724820000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15359357--1.15361299) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dr = 123.724820000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71753118-1.71757911) × cos(-1.15359357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405204729282484 × 6371000     		do = 123.734138699375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71753118-1.71757911) × cos(-1.15361299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405186974937705 × 6371000     		du = 123.728717196613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15359357)-sin(-1.15361299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405204729282484-0.405186974937705)×R²
    abs(1.71757911-1.71753118)×1.775434477852e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.775434477852e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.775434477852e-05×40589641000000     		ar = 15308.6486518011m²