Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101364 / 98259
↖ ↑ ↗
← S 66.463954°
E 98.404541°		 ← 121.96 m → S 66.463954°
E 98.407288°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
S 66.465051°
E 98.404541°		 ← 121.96 m →
14 872 m²		 S 66.465051°
E 98.407288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773349761962891 y=0.749660491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773349761962891 × 217)
    floor (0.773349761962891 × 131072)
    floor (101364.5)     		tx = 101364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749660491943359 × 217)
    floor (0.749660491943359 × 131072)
    floor (98259.5)     		ty = 98259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101364 / 98259 ti = "17/101364/98259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101364/98259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101364 ÷ 217
    101364 ÷ 131072     		x = 0.773345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98259 ÷ 217
    98259 ÷ 131072     		y = 0.749656677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773345947265625 × 2 - 1) × π
    0.54669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71748324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749656677246094 × 2 - 1) × π
    -0.499313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5686391662671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71748324} λ = 1.71748324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5686391662671))-π/2
    2×atan(0.208328489982706)-π/2
    2×0.205390747305143-π/2
    0.410781494610286-1.57079632675     		φ = -1.16001483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71748324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16001483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.463954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101364 KachelY 98259 1.71748324 -1.16001483 98.404541 -66.463954
    Oben rechts KachelX + 1 101365 KachelY 98259 1.71753118 -1.16001483 98.407288 -66.463954
    Unten links KachelX 101364 KachelY + 1 98260 1.71748324 -1.16003397 98.404541 -66.465051
    Unten rechts KachelX + 1 101365 KachelY + 1 98260 1.71753118 -1.16003397 98.407288 -66.465051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16001483--1.16003397) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dl = 121.940940000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16001483--1.16003397) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dr = 121.940940000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71748324-1.71753118) × cos(-1.16001483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399325933172257 × 6371000     		do = 121.964418640247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71748324-1.71753118) × cos(-1.16003397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399308385374263 × 6371000     		du = 121.95905909106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16001483)-sin(-1.16003397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399325933172257-0.399308385374263)×R²
    abs(1.71753118-1.71748324)×1.75477979943439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75477979943439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75477979943439e-05×40589641000000     		ar = 14872.129081845m²