Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101362 / 98190
↖ ↑ ↗
← S 66.388161°
E 98.399048°		 ← 122.31 m → S 66.388161°
E 98.401794°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.389261°
E 98.399048°		 ← 122.30 m →
14 961 m²		 S 66.389261°
E 98.401794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773334503173828 y=0.749134063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773334503173828 × 217)
    floor (0.773334503173828 × 131072)
    floor (101362.5)     		tx = 101362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749134063720703 × 217)
    floor (0.749134063720703 × 131072)
    floor (98190.5)     		ty = 98190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101362 / 98190 ti = "17/101362/98190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101362/98190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101362 ÷ 217
    101362 ÷ 131072     		x = 0.773330688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98190 ÷ 217
    98190 ÷ 131072     		y = 0.749130249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773330688476562 × 2 - 1) × π
    0.546661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71738737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749130249023438 × 2 - 1) × π
    -0.498260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56533152019331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71738737} λ = 1.71738737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56533152019331))-π/2
    2×atan(0.209018707763442)-π/2
    2×0.206052163896239-π/2
    0.412104327792478-1.57079632675     		φ = -1.15869200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71738737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15869200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.388161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101362 KachelY 98190 1.71738737 -1.15869200 98.399048 -66.388161
    Oben rechts KachelX + 1 101363 KachelY 98190 1.71743530 -1.15869200 98.401794 -66.388161
    Unten links KachelX 101362 KachelY + 1 98191 1.71738737 -1.15871120 98.399048 -66.389261
    Unten rechts KachelX + 1 101363 KachelY + 1 98191 1.71743530 -1.15871120 98.401794 -66.389261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15869200--1.15871120) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15869200--1.15871120) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71738737-1.71743530) × cos(-1.15869200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400538365922844 × 6371000     		do = 122.309208511157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71738737-1.71743530) × cos(-1.15871120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400520773273238 × 6371000     		du = 122.303836383961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15869200)-sin(-1.15871120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400538365922844-0.400520773273238)×R²
    abs(1.71743530-1.71738737)×1.75926496062684e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75926496062684e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75926496062684e-05×40589641000000     		ar = 14960.9252068568m²