Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101361 / 98451
↖ ↑ ↗
← S 66.673650°
E 98.396301°		 ← 120.94 m → S 66.673650°
E 98.399048°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.674737°
E 98.396301°		 ← 120.93 m →
14 624 m²		 S 66.674737°
E 98.399048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773326873779297 y=0.751125335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773326873779297 × 217)
    floor (0.773326873779297 × 131072)
    floor (101361.5)     		tx = 101361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751125335693359 × 217)
    floor (0.751125335693359 × 131072)
    floor (98451.5)     		ty = 98451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101361 / 98451 ti = "17/101361/98451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101361/98451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101361 ÷ 217
    101361 ÷ 131072     		x = 0.773323059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98451 ÷ 217
    98451 ÷ 131072     		y = 0.751121520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773323059082031 × 2 - 1) × π
    0.546646118164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71733943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751121520996094 × 2 - 1) × π
    -0.502243041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57784305099415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71733943} λ = 1.71733943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57784305099415))-π/2
    2×atan(0.206419855475129)-π/2
    2×0.203560808055893-π/2
    0.407121616111787-1.57079632675     		φ = -1.16367471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71733943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.396301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16367471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.673650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101361 KachelY 98451 1.71733943 -1.16367471 98.396301 -66.673650
    Oben rechts KachelX + 1 101362 KachelY 98451 1.71738737 -1.16367471 98.399048 -66.673650
    Unten links KachelX 101361 KachelY + 1 98452 1.71733943 -1.16369369 98.396301 -66.674737
    Unten rechts KachelX + 1 101362 KachelY + 1 98452 1.71738737 -1.16369369 98.399048 -66.674737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16367471--1.16369369) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16367471--1.16369369) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71733943-1.71738737) × cos(-1.16367471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39596785520026 × 6371000     		do = 120.938775190673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71733943-1.71738737) × cos(-1.16369369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395950426471151 × 6371000     		du = 120.933452008188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16367471)-sin(-1.16369369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39596785520026-0.395950426471151)×R²
    abs(1.71738737-1.71733943)×1.74287291090924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74287291090924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74287291090924e-05×40589641000000     		ar = 14623.7859357063m²