Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101359 / 97696
↖ ↑ ↗
← S 65.838776°
E 98.390808°		 ← 124.99 m → S 65.838776°
E 98.393555°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.839900°
E 98.390808°		 ← 124.98 m →
15 623 m²		 S 65.839900°
E 98.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773311614990234 y=0.745365142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773311614990234 × 217)
    floor (0.773311614990234 × 131072)
    floor (101359.5)     		tx = 101359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745365142822266 × 217)
    floor (0.745365142822266 × 131072)
    floor (97696.5)     		ty = 97696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101359 / 97696 ti = "17/101359/97696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101359/97696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101359 ÷ 217
    101359 ÷ 131072     		x = 0.773307800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97696 ÷ 217
    97696 ÷ 131072     		y = 0.745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773307800292969 × 2 - 1) × π
    0.546615600585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71724356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.49072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71724356} λ = 1.71724356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54165069178101))-π/2
    2×atan(0.214027516215238)-π/2
    2×0.210846457622829-π/2
    0.421692915245659-1.57079632675     		φ = -1.14910341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71724356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.390808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14910341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.838776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101359 KachelY 97696 1.71724356 -1.14910341 98.390808 -65.838776
    Oben rechts KachelX + 1 101360 KachelY 97696 1.71729149 -1.14910341 98.393555 -65.838776
    Unten links KachelX 101359 KachelY + 1 97697 1.71724356 -1.14912303 98.390808 -65.839900
    Unten rechts KachelX + 1 101360 KachelY + 1 97697 1.71729149 -1.14912303 98.393555 -65.839900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14910341--1.14912303) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14910341--1.14912303) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71724356-1.71729149) × cos(-1.14910341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409305651609581 × 6371000     		do = 124.986404666051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71724356-1.71729149) × cos(-1.14912303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409287750295233 × 6371000     		du = 124.980938284362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14910341)-sin(-1.14912303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409305651609581-0.409287750295233)×R²
    abs(1.71729149-1.71724356)×1.79013143479234e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79013143479234e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79013143479234e-05×40589641000000     		ar = 15622.8364509189m²