Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101356 / 98492
↖ ↑ ↗
← S 66.718199°
E 98.382568°		 ← 120.72 m → S 66.718199°
E 98.385315°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.719285°
E 98.382568°		 ← 120.72 m →
14 574 m²		 S 66.719285°
E 98.385315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773288726806641 y=0.751438140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773288726806641 × 217)
    floor (0.773288726806641 × 131072)
    floor (101356.5)     		tx = 101356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751438140869141 × 217)
    floor (0.751438140869141 × 131072)
    floor (98492.5)     		ty = 98492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101356 / 98492 ti = "17/101356/98492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101356/98492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101356 ÷ 217
    101356 ÷ 131072     		x = 0.773284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98492 ÷ 217
    98492 ÷ 131072     		y = 0.751434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773284912109375 × 2 - 1) × π
    0.54656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71709974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.50286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57980846387857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71709974} λ = 1.71709974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57980846387857))-π/2
    2×atan(0.206014553654756)-π/2
    2×0.203172038858272-π/2
    0.406344077716545-1.57079632675     		φ = -1.16445225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71709974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16445225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.718199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101356 KachelY 98492 1.71709974 -1.16445225 98.382568 -66.718199
    Oben rechts KachelX + 1 101357 KachelY 98492 1.71714768 -1.16445225 98.385315 -66.718199
    Unten links KachelX 101356 KachelY + 1 98493 1.71709974 -1.16447120 98.382568 -66.719285
    Unten rechts KachelX + 1 101357 KachelY + 1 98493 1.71714768 -1.16447120 98.385315 -66.719285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16445225--1.16447120) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dl = 120.730449999051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16445225--1.16447120) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dr = 120.730449999051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71709974-1.71714768) × cos(-1.16445225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395253748297244 × 6371000     		do = 120.72066856138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71709974-1.71714768) × cos(-1.16447120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395236341287338 × 6371000     		du = 120.715352012499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16445225)-sin(-1.16447120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395253748297244-0.395236341287338)×R²
    abs(1.71714768-1.71709974)×1.74070099057677e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74070099057677e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74070099057677e-05×40589641000000     		ar = 14574.3397054085m²