Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101355 / 98508
↖ ↑ ↗
← S 66.735563°
E 98.379822°		 ← 120.61 m → S 66.735563°
E 98.382568°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.736647°
E 98.379822°		 ← 120.61 m →
14 546 m²		 S 66.736647°
E 98.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773281097412109 y=0.751560211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773281097412109 × 217)
    floor (0.773281097412109 × 131072)
    floor (101355.5)     		tx = 101355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751560211181641 × 217)
    floor (0.751560211181641 × 131072)
    floor (98508.5)     		ty = 98508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101355 / 98508 ti = "17/101355/98508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101355/98508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101355 ÷ 217
    101355 ÷ 131072     		x = 0.773277282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98508 ÷ 217
    98508 ÷ 131072     		y = 0.751556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773277282714844 × 2 - 1) × π
    0.546554565429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71705181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.50311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58057545427249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71705181} λ = 1.71705181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58057545427249))-π/2
    2×atan(0.205856603052136)-π/2
    2×0.203020514329717-π/2
    0.406041028659434-1.57079632675     		φ = -1.16475530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71705181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.379822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16475530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.735563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101355 KachelY 98508 1.71705181 -1.16475530 98.379822 -66.735563
    Oben rechts KachelX + 1 101356 KachelY 98508 1.71709974 -1.16475530 98.382568 -66.735563
    Unten links KachelX 101355 KachelY + 1 98509 1.71705181 -1.16477423 98.379822 -66.736647
    Unten rechts KachelX + 1 101356 KachelY + 1 98509 1.71709974 -1.16477423 98.382568 -66.736647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16475530--1.16477423) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16475530--1.16477423) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71705181-1.71709974) × cos(-1.16475530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394975356914369 × 6371000     		do = 120.61047678742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71705181-1.71709974) × cos(-1.16477423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394957966009434 × 6371000     		du = 120.605166265385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16475530)-sin(-1.16477423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394975356914369-0.394957966009434)×R²
    abs(1.71709974-1.71705181)×1.73909049349108e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73909049349108e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73909049349108e-05×40589641000000     		ar = 14545.6687181587m²