Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101352 / 98475
↖ ↑ ↗
← S 66.699738°
E 98.371582°		 ← 120.79 m → S 66.699738°
E 98.374328°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.700824°
E 98.371582°		 ← 120.78 m →
14 590 m²		 S 66.700824°
E 98.374328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773258209228516 y=0.751308441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773258209228516 × 217)
    floor (0.773258209228516 × 131072)
    floor (101352.5)     		tx = 101352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751308441162109 × 217)
    floor (0.751308441162109 × 131072)
    floor (98475.5)     		ty = 98475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101352 / 98475 ti = "17/101352/98475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101352/98475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101352 ÷ 217
    101352 ÷ 131072     		x = 0.77325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98475 ÷ 217
    98475 ÷ 131072     		y = 0.751304626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77325439453125 × 2 - 1) × π
    0.5465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71690800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751304626464844 × 2 - 1) × π
    -0.502609252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57899353658503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71690800} λ = 1.71690800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57899353658503))-π/2
    2×atan(0.206182508963784)-π/2
    2×0.203333150683678-π/2
    0.406666301367355-1.57079632675     		φ = -1.16413003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71690800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16413003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.699738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101352 KachelY 98475 1.71690800 -1.16413003 98.371582 -66.699738
    Oben rechts KachelX + 1 101353 KachelY 98475 1.71695593 -1.16413003 98.374328 -66.699738
    Unten links KachelX 101352 KachelY + 1 98476 1.71690800 -1.16414899 98.371582 -66.700824
    Unten rechts KachelX + 1 101353 KachelY + 1 98476 1.71695593 -1.16414899 98.374328 -66.700824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16413003--1.16414899) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16413003--1.16414899) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71690800-1.71695593) × cos(-1.16413003) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395549710035363 × 6371000     		do = 120.785862421824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71690800-1.71695593) × cos(-1.16414899) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395532296255234 × 6371000     		du = 120.780544914574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16413003)-sin(-1.16414899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395549710035363-0.395532296255234)×R²
    abs(1.71695593-1.71690800)×1.74137801294272e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.74137801294272e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.74137801294272e-05×40589641000000     		ar = 14589.9056296201m²