Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101351 / 98449
↖ ↑ ↗
← S 66.671475°
E 98.368835°		 ← 120.95 m → S 66.671475°
E 98.371582°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.672562°
E 98.368835°		 ← 120.94 m →
14 625 m²		 S 66.672562°
E 98.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773250579833984 y=0.751110076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773250579833984 × 217)
    floor (0.773250579833984 × 131072)
    floor (101351.5)     		tx = 101351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751110076904297 × 217)
    floor (0.751110076904297 × 131072)
    floor (98449.5)     		ty = 98449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101351 / 98449 ti = "17/101351/98449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101351/98449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101351 ÷ 217
    101351 ÷ 131072     		x = 0.773246765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98449 ÷ 217
    98449 ÷ 131072     		y = 0.751106262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773246765136719 × 2 - 1) × π
    0.546493530273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71686006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751106262207031 × 2 - 1) × π
    -0.502212524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57774717719491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71686006} λ = 1.71686006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57774717719491))-π/2
    2×atan(0.206439646679626)-π/2
    2×0.203579790362751-π/2
    0.407159580725503-1.57079632675     		φ = -1.16363675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71686006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.368835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16363675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.671475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101351 KachelY 98449 1.71686006 -1.16363675 98.368835 -66.671475
    Oben rechts KachelX + 1 101352 KachelY 98449 1.71690800 -1.16363675 98.371582 -66.671475
    Unten links KachelX 101351 KachelY + 1 98450 1.71686006 -1.16365573 98.368835 -66.672562
    Unten rechts KachelX + 1 101352 KachelY + 1 98450 1.71690800 -1.16365573 98.371582 -66.672562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16363675--1.16365573) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16363675--1.16365573) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71686006-1.71690800) × cos(-1.16363675) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396002712230541 × 6371000     		do = 120.949421425501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71686006-1.71690800) × cos(-1.16365573) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.395985283786725 × 6371000     		du = 120.944098330151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16363675)-sin(-1.16365573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396002712230541-0.395985283786725)×R²
    abs(1.71690800-1.71686006)×1.74284438158034e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74284438158034e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74284438158034e-05×40589641000000     		ar = 14625.0733008938m²