Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101351 / 97975
↖ ↑ ↗
← S 66.150518°
E 98.368835°		 ← 123.49 m → S 66.150518°
E 98.371582°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.151628°
E 98.368835°		 ← 123.49 m →
15 248 m²		 S 66.151628°
E 98.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773250579833984 y=0.747493743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773250579833984 × 217)
    floor (0.773250579833984 × 131072)
    floor (101351.5)     		tx = 101351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747493743896484 × 217)
    floor (0.747493743896484 × 131072)
    floor (97975.5)     		ty = 97975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101351 / 97975 ti = "17/101351/97975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101351/97975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101351 ÷ 217
    101351 ÷ 131072     		x = 0.773246765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97975 ÷ 217
    97975 ÷ 131072     		y = 0.747489929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773246765136719 × 2 - 1) × π
    0.546493530273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71686006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747489929199219 × 2 - 1) × π
    -0.494979858398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.555025086775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71686006} λ = 1.71686006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.555025086775))-π/2
    2×atan(0.211184084646901)-π/2
    2×0.208125995781878-π/2
    0.416251991563756-1.57079632675     		φ = -1.15454434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71686006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.368835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15454434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.150518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101351 KachelY 97975 1.71686006 -1.15454434 98.368835 -66.150518
    Oben rechts KachelX + 1 101352 KachelY 97975 1.71690800 -1.15454434 98.371582 -66.150518
    Unten links KachelX 101351 KachelY + 1 97976 1.71686006 -1.15456372 98.368835 -66.151628
    Unten rechts KachelX + 1 101352 KachelY + 1 97976 1.71690800 -1.15456372 98.371582 -66.151628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15454434--1.15456372) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15454434--1.15456372) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71686006-1.71690800) × cos(-1.15454434) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404335327641161 × 6371000     		do = 123.494416653435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71686006-1.71690800) × cos(-1.15456372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404317602407637 × 6371000     		du = 123.489002910869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15454434)-sin(-1.15456372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404335327641161-0.404317602407637)×R²
    abs(1.71690800-1.71686006)×1.77252335237243e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77252335237243e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77252335237243e-05×40589641000000     		ar = 15247.5189375204m²