Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101350 / 98530
↖ ↑ ↗
← S 66.759417°
E 98.366089°		 ← 120.52 m → S 66.759417°
E 98.368835°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
S 66.760501°
E 98.366089°		 ← 120.51 m →
14 527 m²		 S 66.760501°
E 98.368835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773242950439453 y=0.751728057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773242950439453 × 217)
    floor (0.773242950439453 × 131072)
    floor (101350.5)     		tx = 101350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751728057861328 × 217)
    floor (0.751728057861328 × 131072)
    floor (98530.5)     		ty = 98530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101350 / 98530 ti = "17/101350/98530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101350/98530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101350 ÷ 217
    101350 ÷ 131072     		x = 0.773239135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98530 ÷ 217
    98530 ÷ 131072     		y = 0.751724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773239135742188 × 2 - 1) × π
    0.546478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71681212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.503448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58163006606413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71681212} λ = 1.71681212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58163006606413))-π/2
    2×atan(0.205639618688415)-π/2
    2×0.202812342361782-π/2
    0.405624684723565-1.57079632675     		φ = -1.16517164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71681212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16517164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.759417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101350 KachelY 98530 1.71681212 -1.16517164 98.366089 -66.759417
    Oben rechts KachelX + 1 101351 KachelY 98530 1.71686006 -1.16517164 98.368835 -66.759417
    Unten links KachelX 101350 KachelY + 1 98531 1.71681212 -1.16519056 98.366089 -66.760501
    Unten rechts KachelX + 1 101351 KachelY + 1 98531 1.71686006 -1.16519056 98.368835 -66.760501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16517164--1.16519056) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16517164--1.16519056) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71681212-1.71686006) × cos(-1.16517164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39459283458443 × 6371000     		do = 120.518808501568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71681212-1.71686006) × cos(-1.16519056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394575449756781 × 6371000     		du = 120.513498727719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16517164)-sin(-1.16519056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39459283458443-0.394575449756781)×R²
    abs(1.71686006-1.71681212)×1.73848276492361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73848276492361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73848276492361e-05×40589641000000     		ar = 14526.9352061051m²