Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101349 / 98491
↖ ↑ ↗
← S 66.717114°
E 98.363343°		 ← 120.70 m → S 66.717114°
E 98.366089°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.718199°
E 98.363343°		 ← 120.70 m →
14 572 m²		 S 66.718199°
E 98.366089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773235321044922 y=0.751430511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773235321044922 × 217)
    floor (0.773235321044922 × 131072)
    floor (101349.5)     		tx = 101349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751430511474609 × 217)
    floor (0.751430511474609 × 131072)
    floor (98491.5)     		ty = 98491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101349 / 98491 ti = "17/101349/98491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101349/98491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101349 ÷ 217
    101349 ÷ 131072     		x = 0.773231506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98491 ÷ 217
    98491 ÷ 131072     		y = 0.751426696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773231506347656 × 2 - 1) × π
    0.546463012695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71676419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751426696777344 × 2 - 1) × π
    -0.502853393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57976052697895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71676419} λ = 1.71676419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57976052697895))-π/2
    2×atan(0.206024429590444)-π/2
    2×0.203181512686502-π/2
    0.406363025373004-1.57079632675     		φ = -1.16443330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71676419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.363343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16443330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.717114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101349 KachelY 98491 1.71676419 -1.16443330 98.363343 -66.717114
    Oben rechts KachelX + 1 101350 KachelY 98491 1.71681212 -1.16443330 98.366089 -66.717114
    Unten links KachelX 101349 KachelY + 1 98492 1.71676419 -1.16445225 98.363343 -66.718199
    Unten rechts KachelX + 1 101350 KachelY + 1 98492 1.71681212 -1.16445225 98.366089 -66.718199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16443330--1.16445225) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16443330--1.16445225) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71676419-1.71681212) × cos(-1.16443330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395271155165213 × 6371000     		do = 120.700802341768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71676419-1.71681212) × cos(-1.16445225) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395253748297244 × 6371000     		du = 120.695486945229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16443330)-sin(-1.16445225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395271155165213-0.395253748297244)×R²
    abs(1.71681212-1.71676419)×1.74068679693606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74068679693606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74068679693606e-05×40589641000000     		ar = 14571.9413172946m²