Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101349 / 97704
↖ ↑ ↗
← S 65.847768°
E 98.363343°		 ← 124.94 m → S 65.847768°
E 98.366089°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.848891°
E 98.363343°		 ← 124.94 m →
15 609 m²		 S 65.848891°
E 98.366089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773235321044922 y=0.745426177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773235321044922 × 217)
    floor (0.773235321044922 × 131072)
    floor (101349.5)     		tx = 101349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745426177978516 × 217)
    floor (0.745426177978516 × 131072)
    floor (97704.5)     		ty = 97704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101349 / 97704 ti = "17/101349/97704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101349/97704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101349 ÷ 217
    101349 ÷ 131072     		x = 0.773231506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97704 ÷ 217
    97704 ÷ 131072     		y = 0.74542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773231506347656 × 2 - 1) × π
    0.546463012695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71676419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.4908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54203418697797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71676419} λ = 1.71676419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54203418697797))-π/2
    2×atan(0.2139454534271)-π/2
    2×0.210767987976747-π/2
    0.421535975953494-1.57079632675     		φ = -1.14926035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71676419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.363343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14926035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.847768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101349 KachelY 97704 1.71676419 -1.14926035 98.363343 -65.847768
    Oben rechts KachelX + 1 101350 KachelY 97704 1.71681212 -1.14926035 98.366089 -65.847768
    Unten links KachelX 101349 KachelY + 1 97705 1.71676419 -1.14927996 98.363343 -65.848891
    Unten rechts KachelX + 1 101350 KachelY + 1 97705 1.71681212 -1.14927996 98.366089 -65.848891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14926035--1.14927996) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14926035--1.14927996) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71676419-1.71681212) × cos(-1.14926035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40916245493293 × 6371000     		do = 124.942677838179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71676419-1.71681212) × cos(-1.14927996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409144561483207 × 6371000     		du = 124.937213858048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14926035)-sin(-1.14927996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40916245493293-0.409144561483207)×R²
    abs(1.71681212-1.71676419)×1.78934497229166e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78934497229166e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78934497229166e-05×40589641000000     		ar = 15609.4108665249m²