Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101347 / 98003
↖ ↑ ↗
← S 66.181593°
E 98.357849°		 ← 123.34 m → S 66.181593°
E 98.360596°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.182703°
E 98.357849°		 ← 123.34 m →
15 213 m²		 S 66.182703°
E 98.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773220062255859 y=0.747707366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773220062255859 × 217)
    floor (0.773220062255859 × 131072)
    floor (101347.5)     		tx = 101347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747707366943359 × 217)
    floor (0.747707366943359 × 131072)
    floor (98003.5)     		ty = 98003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101347 / 98003 ti = "17/101347/98003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101347/98003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101347 ÷ 217
    101347 ÷ 131072     		x = 0.773216247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98003 ÷ 217
    98003 ÷ 131072     		y = 0.747703552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773216247558594 × 2 - 1) × π
    0.546432495117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.71666831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747703552246094 × 2 - 1) × π
    -0.495407104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.55636731996436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71666831} λ = 1.71666831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55636731996436))-π/2
    2×atan(0.2109008165079)-π/2
    2×0.207854806137172-π/2
    0.415709612274343-1.57079632675     		φ = -1.15508671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71666831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.357849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15508671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.181593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101347 KachelY 98003 1.71666831 -1.15508671 98.357849 -66.181593
    Oben rechts KachelX + 1 101348 KachelY 98003 1.71671625 -1.15508671 98.360596 -66.181593
    Unten links KachelX 101347 KachelY + 1 98004 1.71666831 -1.15510607 98.357849 -66.182703
    Unten rechts KachelX + 1 101348 KachelY + 1 98004 1.71671625 -1.15510607 98.360596 -66.182703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15508671--1.15510607) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15508671--1.15510607) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71666831-1.71671625) × cos(-1.15508671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403839210727085 × 6371000     		do = 123.342889777255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71666831-1.71671625) × cos(-1.15510607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403821499542996 × 6371000     		du = 123.337480325748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15508671)-sin(-1.15510607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403839210727085-0.403821499542996)×R²
    abs(1.71671625-1.71666831)×1.77111840886091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77111840886091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77111840886091e-05×40589641000000     		ar = 15213.0941755491m²