Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101347 / 97761
↖ ↑ ↗
← S 65.911744°
E 98.357849°		 ← 124.66 m → S 65.911744°
E 98.360596°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.912865°
E 98.357849°		 ← 124.65 m →
15 542 m²		 S 65.912865°
E 98.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773220062255859 y=0.745861053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773220062255859 × 217)
    floor (0.773220062255859 × 131072)
    floor (101347.5)     		tx = 101347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745861053466797 × 217)
    floor (0.745861053466797 × 131072)
    floor (97761.5)     		ty = 97761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101347 / 97761 ti = "17/101347/97761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101347/97761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101347 ÷ 217
    101347 ÷ 131072     		x = 0.773216247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97761 ÷ 217
    97761 ÷ 131072     		y = 0.745857238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773216247558594 × 2 - 1) × π
    0.546432495117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.71666831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745857238769531 × 2 - 1) × π
    -0.491714477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54476659025631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71666831} λ = 1.71666831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54476659025631))-π/2
    2×atan(0.213361666103183)-π/2
    2×0.210209685949537-π/2
    0.420419371899073-1.57079632675     		φ = -1.15037695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71666831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.357849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15037695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.911744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101347 KachelY 97761 1.71666831 -1.15037695 98.357849 -65.911744
    Oben rechts KachelX + 1 101348 KachelY 97761 1.71671625 -1.15037695 98.360596 -65.911744
    Unten links KachelX 101347 KachelY + 1 97762 1.71666831 -1.15039652 98.357849 -65.912865
    Unten rechts KachelX + 1 101348 KachelY + 1 97762 1.71671625 -1.15039652 98.360596 -65.912865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15037695--1.15039652) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15037695--1.15039652) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71666831-1.71671625) × cos(-1.15037695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408143345503768 × 6371000     		do = 124.657483326482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71666831-1.71671625) × cos(-1.15039652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408125479623196 × 6371000     		du = 124.652026626688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15037695)-sin(-1.15039652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408143345503768-0.408125479623196)×R²
    abs(1.71671625-1.71666831)×1.78658805725651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78658805725651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78658805725651e-05×40589641000000     		ar = 15542.0134387451m²