Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101346 / 98474
↖ ↑ ↗
← S 66.698651°
E 98.355103°		 ← 120.79 m → S 66.698651°
E 98.357849°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.699738°
E 98.355103°		 ← 120.79 m →
14 598 m²		 S 66.699738°
E 98.357849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773212432861328 y=0.751300811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773212432861328 × 217)
    floor (0.773212432861328 × 131072)
    floor (101346.5)     		tx = 101346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751300811767578 × 217)
    floor (0.751300811767578 × 131072)
    floor (98474.5)     		ty = 98474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101346 / 98474 ti = "17/101346/98474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101346/98474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101346 ÷ 217
    101346 ÷ 131072     		x = 0.773208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98474 ÷ 217
    98474 ÷ 131072     		y = 0.751296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    0.546417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71662038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.502593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57894559968541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71662038} λ = 1.71662038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57894559968541))-π/2
    2×atan(0.206192392950921)-π/2
    2×0.203342631605859-π/2
    0.406685263211717-1.57079632675     		φ = -1.16411106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71662038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16411106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.698651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101346 KachelY 98474 1.71662038 -1.16411106 98.355103 -66.698651
    Oben rechts KachelX + 1 101347 KachelY 98474 1.71666831 -1.16411106 98.357849 -66.698651
    Unten links KachelX 101346 KachelY + 1 98475 1.71662038 -1.16413003 98.355103 -66.699738
    Unten rechts KachelX + 1 101347 KachelY + 1 98475 1.71666831 -1.16413003 98.357849 -66.699738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16411106--1.16413003) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16411106--1.16413003) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71662038-1.71666831) × cos(-1.16411106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39556713285767 × 6371000     		do = 120.791182690772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71662038-1.71666831) × cos(-1.16413003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395549710035363 × 6371000     		du = 120.785862422384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16411106)-sin(-1.16413003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39556713285767-0.395549710035363)×R²
    abs(1.71666831-1.71662038)×1.7422822307267e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7422822307267e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7422822307267e-05×40589641000000     		ar = 14598.2435571174m²