Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101346 / 98466
↖ ↑ ↗
← S 66.689958°
E 98.355103°		 ← 120.83 m → S 66.689958°
E 98.357849°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.691045°
E 98.355103°		 ← 120.83 m →
14 603 m²		 S 66.691045°
E 98.357849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773212432861328 y=0.751239776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773212432861328 × 217)
    floor (0.773212432861328 × 131072)
    floor (101346.5)     		tx = 101346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751239776611328 × 217)
    floor (0.751239776611328 × 131072)
    floor (98466.5)     		ty = 98466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101346 / 98466 ti = "17/101346/98466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101346/98466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101346 ÷ 217
    101346 ÷ 131072     		x = 0.773208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98466 ÷ 217
    98466 ÷ 131072     		y = 0.751235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    0.546417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71662038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.502471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57856210448845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71662038} λ = 1.71662038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57856210448845))-π/2
    2×atan(0.206271481907416)-π/2
    2×0.2034184940119-π/2
    0.4068369880238-1.57079632675     		φ = -1.16395934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71662038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16395934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.689958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101346 KachelY 98466 1.71662038 -1.16395934 98.355103 -66.689958
    Oben rechts KachelX + 1 101347 KachelY 98466 1.71666831 -1.16395934 98.357849 -66.689958
    Unten links KachelX 101346 KachelY + 1 98467 1.71662038 -1.16397831 98.355103 -66.691045
    Unten rechts KachelX + 1 101347 KachelY + 1 98467 1.71666831 -1.16397831 98.357849 -66.691045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16395934--1.16397831) × R
    1.89700000001736e-05 × 6371000     		dl = 120.857870001106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16395934--1.16397831) × R
    1.89700000001736e-05 × 6371000     		dr = 120.857870001106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71662038-1.71666831) × cos(-1.16395934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395706473575952 × 6371000     		do = 120.833732055368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71662038-1.71666831) × cos(-1.16397831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395689051892313 × 6371000     		du = 120.828412134686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16395934)-sin(-1.16397831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395706473575952-0.395689051892313)×R²
    abs(1.71666831-1.71662038)×1.74216836389962e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74216836389962e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74216836389962e-05×40589641000000     		ar = 14603.3860037351m²