Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101345 / 98469
↖ ↑ ↗
← S 66.693218°
E 98.352356°		 ← 120.84 m → S 66.693218°
E 98.355103°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.694305°
E 98.352356°		 ← 120.84 m →
14 605 m²		 S 66.694305°
E 98.355103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773204803466797 y=0.751262664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773204803466797 × 217)
    floor (0.773204803466797 × 131072)
    floor (101345.5)     		tx = 101345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751262664794922 × 217)
    floor (0.751262664794922 × 131072)
    floor (98469.5)     		ty = 98469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101345 / 98469 ti = "17/101345/98469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101345/98469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101345 ÷ 217
    101345 ÷ 131072     		x = 0.773200988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98469 ÷ 217
    98469 ÷ 131072     		y = 0.751258850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773200988769531 × 2 - 1) × π
    0.546401977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71657244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751258850097656 × 2 - 1) × π
    -0.502517700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57870591518731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71657244} λ = 1.71657244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57870591518731))-π/2
    2×atan(0.206241819994349)-π/2
    2×0.203390042478453-π/2
    0.406780084956906-1.57079632675     		φ = -1.16401624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71657244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.352356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16401624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.693218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101345 KachelY 98469 1.71657244 -1.16401624 98.352356 -66.693218
    Oben rechts KachelX + 1 101346 KachelY 98469 1.71662038 -1.16401624 98.355103 -66.693218
    Unten links KachelX 101345 KachelY + 1 98470 1.71657244 -1.16403521 98.352356 -66.694305
    Unten rechts KachelX + 1 101346 KachelY + 1 98470 1.71662038 -1.16403521 98.355103 -66.694305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16401624--1.16403521) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16401624--1.16403521) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71657244-1.71662038) × cos(-1.16401624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395654217281858 × 6371000     		do = 120.842982097353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71657244-1.71662038) × cos(-1.16403521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395636795171134 × 6371000     		du = 120.837660936293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16401624)-sin(-1.16403521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395654217281858-0.395636795171134)×R²
    abs(1.71662038-1.71657244)×1.74221107239747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74221107239747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74221107239747e-05×40589641000000     		ar = 14604.5038689822m²