Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101340 / 98438
↖ ↑ ↗
← S 66.659507°
E 98.338623°		 ← 121.01 m → S 66.659507°
E 98.341370°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.660595°
E 98.338623°		 ← 121 m →
14 640 m²		 S 66.660595°
E 98.341370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773166656494141 y=0.751026153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773166656494141 × 217)
    floor (0.773166656494141 × 131072)
    floor (101340.5)     		tx = 101340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751026153564453 × 217)
    floor (0.751026153564453 × 131072)
    floor (98438.5)     		ty = 98438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101340 / 98438 ti = "17/101340/98438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101340/98438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101340 ÷ 217
    101340 ÷ 131072     		x = 0.773162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98438 ÷ 217
    98438 ÷ 131072     		y = 0.751022338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773162841796875 × 2 - 1) × π
    0.54632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71633275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751022338867188 × 2 - 1) × π
    -0.502044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57721987129909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71633275} λ = 1.71633275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57721987129909))-π/2
    2×atan(0.206548532227924)-π/2
    2×0.203684222926398-π/2
    0.407368445852796-1.57079632675     		φ = -1.16342788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71633275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16342788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.659507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101340 KachelY 98438 1.71633275 -1.16342788 98.338623 -66.659507
    Oben rechts KachelX + 1 101341 KachelY 98438 1.71638069 -1.16342788 98.341370 -66.659507
    Unten links KachelX 101340 KachelY + 1 98439 1.71633275 -1.16344687 98.338623 -66.660595
    Unten rechts KachelX + 1 101341 KachelY + 1 98439 1.71638069 -1.16344687 98.341370 -66.660595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16342788--1.16344687) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16342788--1.16344687) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71633275-1.71638069) × cos(-1.16342788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396194498330821 × 6371000     		do = 121.007997836541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71633275-1.71638069) × cos(-1.16344687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396177062275504 × 6371000     		du = 121.002672416443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16342788)-sin(-1.16344687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396194498330821-0.396177062275504)×R²
    abs(1.71638069-1.71633275)×1.7436055317066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7436055317066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7436055317066e-05×40589641000000     		ar = 14639.865562263m²