Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101336 / 98808
↖ ↑ ↗
← S 67.058870°
E 98.327637°		 ← 119.03 m → S 67.058870°
E 98.330383°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
S 67.059941°
E 98.327637°		 ← 119.02 m →
14 165 m²		 S 67.059941°
E 98.330383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773136138916016 y=0.753849029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773136138916016 × 217)
    floor (0.773136138916016 × 131072)
    floor (101336.5)     		tx = 101336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753849029541016 × 217)
    floor (0.753849029541016 × 131072)
    floor (98808.5)     		ty = 98808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101336 / 98808 ti = "17/101336/98808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101336/98808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101336 ÷ 217
    101336 ÷ 131072     		x = 0.77313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98808 ÷ 217
    98808 ÷ 131072     		y = 0.75384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77313232421875 × 2 - 1) × π
    0.5462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71614101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59495652415851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71614101} λ = 1.71614101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59495652415851))-π/2
    2×atan(0.202917350313333)-π/2
    2×0.20019912415186-π/2
    0.40039824830372-1.57079632675     		φ = -1.17039808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71614101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17039808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.058870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101336 KachelY 98808 1.71614101 -1.17039808 98.327637 -67.058870
    Oben rechts KachelX + 1 101337 KachelY 98808 1.71618894 -1.17039808 98.330383 -67.058870
    Unten links KachelX 101336 KachelY + 1 98809 1.71614101 -1.17041676 98.327637 -67.059941
    Unten rechts KachelX + 1 101337 KachelY + 1 98809 1.71618894 -1.17041676 98.330383 -67.059941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17039808--1.17041676) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17039808--1.17041676) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71614101-1.71618894) × cos(-1.17039808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389785121006747 × 6371000     		do = 119.025575814489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71614101-1.71618894) × cos(-1.17041676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389767918417719 × 6371000     		du = 119.020322796982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17039808)-sin(-1.17041676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389785121006747-0.389767918417719)×R²
    abs(1.71618894-1.71614101)×1.72025890283756e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72025890283756e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72025890283756e-05×40589641000000     		ar = 14164.9545238271m²