Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101334 / 98794
↖ ↑ ↗
← S 67.043878°
E 98.322143°		 ← 119.12 m → S 67.043878°
E 98.324890°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.044949°
E 98.322143°		 ← 119.12 m →
14 184 m²		 S 67.044949°
E 98.324890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773120880126953 y=0.753742218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773120880126953 × 217)
    floor (0.773120880126953 × 131072)
    floor (101334.5)     		tx = 101334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753742218017578 × 217)
    floor (0.753742218017578 × 131072)
    floor (98794.5)     		ty = 98794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101334 / 98794 ti = "17/101334/98794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101334/98794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101334 ÷ 217
    101334 ÷ 131072     		x = 0.773117065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98794 ÷ 217
    98794 ÷ 131072     		y = 0.753738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773117065429688 × 2 - 1) × π
    0.546234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71604513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.507476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59428540756383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71604513} λ = 1.71604513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59428540756383))-π/2
    2×atan(0.203053577221433)-π/2
    2×0.200329960208847-π/2
    0.400659920417693-1.57079632675     		φ = -1.17013641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71604513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.322143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17013641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.043878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101334 KachelY 98794 1.71604513 -1.17013641 98.322143 -67.043878
    Oben rechts KachelX + 1 101335 KachelY 98794 1.71609307 -1.17013641 98.324890 -67.043878
    Unten links KachelX 101334 KachelY + 1 98795 1.71604513 -1.17015510 98.322143 -67.044949
    Unten rechts KachelX + 1 101335 KachelY + 1 98795 1.71609307 -1.17015510 98.324890 -67.044949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17013641--1.17015510) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dl = 119.073989999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17013641--1.17015510) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dr = 119.073989999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71604513-1.71609307) × cos(-1.17013641) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390026081089672 × 6371000     		do = 119.124004436587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71604513-1.71609307) × cos(-1.17015510) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390008871198348 × 6371000     		du = 119.118748092794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17013641)-sin(-1.17015510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390026081089672-0.390008871198348)×R²
    abs(1.71609307-1.71604513)×1.72098913245322e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72098913245322e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72098913245322e-05×40589641000000     		ar = 14184.257566473m²