Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101333 / 98363
↖ ↑ ↗
← S 66.577759°
E 98.319397°		 ← 121.38 m → S 66.577759°
E 98.322143°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.578851°
E 98.319397°		 ← 121.38 m →
14 739 m²		 S 66.578851°
E 98.322143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773113250732422 y=0.750453948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773113250732422 × 217)
    floor (0.773113250732422 × 131072)
    floor (101333.5)     		tx = 101333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750453948974609 × 217)
    floor (0.750453948974609 × 131072)
    floor (98363.5)     		ty = 98363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101333 / 98363 ti = "17/101333/98363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101333/98363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101333 ÷ 217
    101333 ÷ 131072     		x = 0.773109436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98363 ÷ 217
    98363 ÷ 131072     		y = 0.750450134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773109436035156 × 2 - 1) × π
    0.546218872070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71599720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750450134277344 × 2 - 1) × π
    -0.500900268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57362460382758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71599720} λ = 1.71599720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57362460382758))-π/2
    2×atan(0.207292465966178)-π/2
    2×0.20439761209999-π/2
    0.408795224199981-1.57079632675     		φ = -1.16200110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71599720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.319397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16200110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.577759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101333 KachelY 98363 1.71599720 -1.16200110 98.319397 -66.577759
    Oben rechts KachelX + 1 101334 KachelY 98363 1.71604513 -1.16200110 98.322143 -66.577759
    Unten links KachelX 101333 KachelY + 1 98364 1.71599720 -1.16202016 98.319397 -66.578851
    Unten rechts KachelX + 1 101334 KachelY + 1 98364 1.71604513 -1.16202016 98.322143 -66.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71599720-1.71604513) × cos(-1.16200110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397504116372151 × 6371000     		do = 121.382663908831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71599720-1.71604513) × cos(-1.16202016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397486626836498 × 6371000     		du = 121.37732326872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16200110)-sin(-1.16202016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397504116372151-0.397486626836498)×R²
    abs(1.71604513-1.71599720)×1.74895356538363e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74895356538363e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74895356538363e-05×40589641000000     		ar = 14739.3255608029m²