Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101329 / 98257
↖ ↑ ↗
← S 66.461761°
E 98.308411°		 ← 121.98 m → S 66.461761°
E 98.311158°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
S 66.462857°
E 98.308411°		 ← 121.97 m →
14 873 m²		 S 66.462857°
E 98.311158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773082733154297 y=0.749645233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773082733154297 × 217)
    floor (0.773082733154297 × 131072)
    floor (101329.5)     		tx = 101329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749645233154297 × 217)
    floor (0.749645233154297 × 131072)
    floor (98257.5)     		ty = 98257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101329 / 98257 ti = "17/101329/98257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101329/98257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101329 ÷ 217
    101329 ÷ 131072     		x = 0.773078918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98257 ÷ 217
    98257 ÷ 131072     		y = 0.749641418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773078918457031 × 2 - 1) × π
    0.546157836914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71580545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749641418457031 × 2 - 1) × π
    -0.499282836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56854329246786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71580545} λ = 1.71580545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56854329246786))-π/2
    2×atan(0.208348464184017)-π/2
    2×0.205409890593532-π/2
    0.410819781187065-1.57079632675     		φ = -1.15997655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71580545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.308411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15997655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.461761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101329 KachelY 98257 1.71580545 -1.15997655 98.308411 -66.461761
    Oben rechts KachelX + 1 101330 KachelY 98257 1.71585339 -1.15997655 98.311158 -66.461761
    Unten links KachelX 101329 KachelY + 1 98258 1.71580545 -1.15999569 98.308411 -66.462857
    Unten rechts KachelX + 1 101330 KachelY + 1 98258 1.71585339 -1.15999569 98.311158 -66.462857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15997655--1.15999569) × R
    1.91399999998065e-05 × 6371000     		dl = 121.940939998767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15997655--1.15999569) × R
    1.91399999998065e-05 × 6371000     		dr = 121.940939998767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71580545-1.71585339) × cos(-1.15997655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399361028329373 × 6371000     		do = 121.97513760458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71580545-1.71585339) × cos(-1.15999569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399343480823963 × 6371000     		du = 121.969778144755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15997655)-sin(-1.15999569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399361028329373-0.399343480823963)×R²
    abs(1.71585339-1.71580545)×1.75475054099428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75475054099428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75475054099428e-05×40589641000000     		ar = 14873.4361676903m²