Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101326 / 97998
↖ ↑ ↗
← S 66.176047°
E 98.300171°		 ← 123.34 m → S 66.176047°
E 98.302917°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.177156°
E 98.300171°		 ← 123.34 m →
15 213 m²		 S 66.177156°
E 98.302917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773059844970703 y=0.747669219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773059844970703 × 217)
    floor (0.773059844970703 × 131072)
    floor (101326.5)     		tx = 101326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747669219970703 × 217)
    floor (0.747669219970703 × 131072)
    floor (97998.5)     		ty = 97998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101326 / 97998 ti = "17/101326/97998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101326/97998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101326 ÷ 217
    101326 ÷ 131072     		x = 0.773056030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97998 ÷ 217
    97998 ÷ 131072     		y = 0.747665405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773056030273438 × 2 - 1) × π
    0.546112060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71566164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.495330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55612763546626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71566164} λ = 1.71566164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55612763546626))-π/2
    2×atan(0.210951372222722)-π/2
    2×0.207903208442275-π/2
    0.41580641688455-1.57079632675     		φ = -1.15498991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71566164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15498991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.176047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101326 KachelY 97998 1.71566164 -1.15498991 98.300171 -66.176047
    Oben rechts KachelX + 1 101327 KachelY 97998 1.71570957 -1.15498991 98.302917 -66.176047
    Unten links KachelX 101326 KachelY + 1 97999 1.71566164 -1.15500927 98.300171 -66.177156
    Unten rechts KachelX + 1 101327 KachelY + 1 97999 1.71570957 -1.15500927 98.302917 -66.177156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15498991--1.15500927) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15498991--1.15500927) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71566164-1.71570957) × cos(-1.15498991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403927764376952 × 6371000     		do = 123.344202103583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71566164-1.71570957) × cos(-1.15500927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403910053949744 × 6371000     		du = 123.338794011579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15498991)-sin(-1.15500927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403927764376952-0.403910053949744)×R²
    abs(1.71570957-1.71566164)×1.77104272081618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77104272081618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77104272081618e-05×40589641000000     		ar = 15213.2561252231m²