Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101325 / 98360
↖ ↑ ↗
← S 66.574483°
E 98.297424°		 ← 121.42 m → S 66.574483°
E 98.300171°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.575575°
E 98.297424°		 ← 121.42 m →
14 744 m²		 S 66.575575°
E 98.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773052215576172 y=0.750431060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773052215576172 × 217)
    floor (0.773052215576172 × 131072)
    floor (101325.5)     		tx = 101325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750431060791016 × 217)
    floor (0.750431060791016 × 131072)
    floor (98360.5)     		ty = 98360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101325 / 98360 ti = "17/101325/98360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101325/98360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101325 ÷ 217
    101325 ÷ 131072     		x = 0.773048400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98360 ÷ 217
    98360 ÷ 131072     		y = 0.75042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773048400878906 × 2 - 1) × π
    0.546096801757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71561370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57348079312872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71561370} λ = 1.71561370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57348079312872))-π/2
    2×atan(0.207322278984241)-π/2
    2×0.20442619665817-π/2
    0.408852393316339-1.57079632675     		φ = -1.16194393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71561370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.297424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16194393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.574483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101325 KachelY 98360 1.71561370 -1.16194393 98.297424 -66.574483
    Oben rechts KachelX + 1 101326 KachelY 98360 1.71566164 -1.16194393 98.300171 -66.574483
    Unten links KachelX 101325 KachelY + 1 98361 1.71561370 -1.16196299 98.297424 -66.575575
    Unten rechts KachelX + 1 101326 KachelY + 1 98361 1.71566164 -1.16196299 98.300171 -66.575575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16194393--1.16196299) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dl = 121.431259999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16194393--1.16196299) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dr = 121.431259999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71561370-1.71566164) × cos(-1.16194393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39755657493687 × 6371000     		do = 121.424011091879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71561370-1.71566164) × cos(-1.16196299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39753908583438 × 6371000     		du = 121.418669469809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16194393)-sin(-1.16196299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39755657493687-0.39753908583438)×R²
    abs(1.71566164-1.71561370)×1.74891024901647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74891024901647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74891024901647e-05×40589641000000     		ar = 14744.3463415833m²