Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101323 / 97993
↖ ↑ ↗
← S 66.170499°
E 98.291931°		 ← 123.37 m → S 66.170499°
E 98.294678°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.171609°
E 98.291931°		 ← 123.37 m →
15 224 m²		 S 66.171609°
E 98.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773036956787109 y=0.747631072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773036956787109 × 217)
    floor (0.773036956787109 × 131072)
    floor (101323.5)     		tx = 101323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747631072998047 × 217)
    floor (0.747631072998047 × 131072)
    floor (97993.5)     		ty = 97993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101323 / 97993 ti = "17/101323/97993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101323/97993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101323 ÷ 217
    101323 ÷ 131072     		x = 0.773033142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97993 ÷ 217
    97993 ÷ 131072     		y = 0.747627258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773033142089844 × 2 - 1) × π
    0.546066284179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71551783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747627258300781 × 2 - 1) × π
    -0.495254516601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55588795096816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71551783} λ = 1.71551783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55588795096816))-π/2
    2×atan(0.211001940056418)-π/2
    2×0.207951621361289-π/2
    0.415903242722579-1.57079632675     		φ = -1.15489308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71551783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.291931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15489308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.170499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101323 KachelY 97993 1.71551783 -1.15489308 98.291931 -66.170499
    Oben rechts KachelX + 1 101324 KachelY 97993 1.71556576 -1.15489308 98.294678 -66.170499
    Unten links KachelX 101323 KachelY + 1 97994 1.71551783 -1.15491245 98.291931 -66.171609
    Unten rechts KachelX + 1 101324 KachelY + 1 97994 1.71556576 -1.15491245 98.294678 -66.171609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15489308--1.15491245) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dl = 123.406270001179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15489308--1.15491245) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dr = 123.406270001179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71551783-1.71556576) × cos(-1.15489308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404016341684473 × 6371000     		do = 123.37125025002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71551783-1.71556576) × cos(-1.15491245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40399862286695 × 6371000     		du = 123.365839595932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15489308)-sin(-1.15491245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404016341684473-0.40399862286695)×R²
    abs(1.71556576-1.71551783)×1.77188175231602e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77188175231602e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77188175231602e-05×40589641000000     		ar = 15224.4519648085m²