Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101321 / 98237
↖ ↑ ↗
← S 66.439813°
E 98.286438°		 ← 122.08 m → S 66.439813°
E 98.289185°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.440911°
E 98.286438°		 ← 122.08 m →
14 910 m²		 S 66.440911°
E 98.289185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773021697998047 y=0.749492645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773021697998047 × 217)
    floor (0.773021697998047 × 131072)
    floor (101321.5)     		tx = 101321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749492645263672 × 217)
    floor (0.749492645263672 × 131072)
    floor (98237.5)     		ty = 98237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101321 / 98237 ti = "17/101321/98237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101321/98237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101321 ÷ 217
    101321 ÷ 131072     		x = 0.773017883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98237 ÷ 217
    98237 ÷ 131072     		y = 0.749488830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773017883300781 × 2 - 1) × π
    0.546035766601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.71542195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749488830566406 × 2 - 1) × π
    -0.498977661132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56758455447546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71542195} λ = 1.71542195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56758455447546))-π/2
    2×atan(0.208548311557615)-π/2
    2×0.205601416045807-π/2
    0.411202832091614-1.57079632675     		φ = -1.15959349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71542195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.286438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15959349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.439813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101321 KachelY 98237 1.71542195 -1.15959349 98.286438 -66.439813
    Oben rechts KachelX + 1 101322 KachelY 98237 1.71546989 -1.15959349 98.289185 -66.439813
    Unten links KachelX 101321 KachelY + 1 98238 1.71542195 -1.15961266 98.286438 -66.440911
    Unten rechts KachelX + 1 101322 KachelY + 1 98238 1.71546989 -1.15961266 98.289185 -66.440911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15959349--1.15961266) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15959349--1.15961266) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71542195-1.71546989) × cos(-1.15959349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399712186032251 × 6371000     		do = 122.082390205838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71542195-1.71546989) × cos(-1.15961266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		du = 122.07702324164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15959349)-sin(-1.15961266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399712186032251-0.399694613956636)×R²
    abs(1.71546989-1.71542195)×1.7572075615202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7572075615202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7572075615202e-05×40589641000000     		ar = 14909.8472876571m²