Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101317 / 98117
↖ ↑ ↗
← S 66.307724°
E 98.275452°		 ← 122.70 m → S 66.307724°
E 98.278198°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.308828°
E 98.275452°		 ← 122.70 m →
15 056 m²		 S 66.308828°
E 98.278198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772991180419922 y=0.748577117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772991180419922 × 217)
    floor (0.772991180419922 × 131072)
    floor (101317.5)     		tx = 101317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748577117919922 × 217)
    floor (0.748577117919922 × 131072)
    floor (98117.5)     		ty = 98117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101317 / 98117 ti = "17/101317/98117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101317/98117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101317 ÷ 217
    101317 ÷ 131072     		x = 0.772987365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98117 ÷ 217
    98117 ÷ 131072     		y = 0.748573303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772987365722656 × 2 - 1) × π
    0.545974731445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71523021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748573303222656 × 2 - 1) × π
    -0.497146606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56183212652105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71523021} λ = 1.71523021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56183212652105))-π/2
    2×atan(0.209751427796973)-π/2
    2×0.206754109145202-π/2
    0.413508218290404-1.57079632675     		φ = -1.15728811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71523021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.275452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15728811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.307724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101317 KachelY 98117 1.71523021 -1.15728811 98.275452 -66.307724
    Oben rechts KachelX + 1 101318 KachelY 98117 1.71527814 -1.15728811 98.278198 -66.307724
    Unten links KachelX 101317 KachelY + 1 98118 1.71523021 -1.15730737 98.275452 -66.308828
    Unten rechts KachelX + 1 101318 KachelY + 1 98118 1.71527814 -1.15730737 98.278198 -66.308828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15728811--1.15730737) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15728811--1.15730737) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71523021-1.71527814) × cos(-1.15728811) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.401824327101531 × 6371000     		do = 122.701892226614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71523021-1.71527814) × cos(-1.15730737) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.401806690321937 × 6371000     		du = 122.696506623795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15728811)-sin(-1.15730737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401824327101531-0.401806690321937)×R²
    abs(1.71527814-1.71523021)×1.76367795935994e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76367795935994e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76367795935994e-05×40589641000000     		ar = 15055.8617075806m²