Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101315 / 97982
↖ ↑ ↗
← S 66.158290°
E 98.269958°		 ← 123.46 m → S 66.158290°
E 98.272705°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.159401°
E 98.269958°		 ← 123.45 m →
15 243 m²		 S 66.159401°
E 98.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772975921630859 y=0.747547149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772975921630859 × 217)
    floor (0.772975921630859 × 131072)
    floor (101315.5)     		tx = 101315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747547149658203 × 217)
    floor (0.747547149658203 × 131072)
    floor (97982.5)     		ty = 97982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101315 / 97982 ti = "17/101315/97982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101315/97982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101315 ÷ 217
    101315 ÷ 131072     		x = 0.772972106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97982 ÷ 217
    97982 ÷ 131072     		y = 0.747543334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772972106933594 × 2 - 1) × π
    0.545944213867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.71513433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747543334960938 × 2 - 1) × π
    -0.495086669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55536064507234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71513433} λ = 1.71513433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55536064507234))-π/2
    2×atan(0.211113231963299)-π/2
    2×0.208058167153319-π/2
    0.416116334306638-1.57079632675     		φ = -1.15467999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71513433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15467999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.158290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101315 KachelY 97982 1.71513433 -1.15467999 98.269958 -66.158290
    Oben rechts KachelX + 1 101316 KachelY 97982 1.71518227 -1.15467999 98.272705 -66.158290
    Unten links KachelX 101315 KachelY + 1 97983 1.71513433 -1.15469937 98.269958 -66.159401
    Unten rechts KachelX + 1 101316 KachelY + 1 97983 1.71518227 -1.15469937 98.272705 -66.159401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15467999--1.15469937) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dl = 123.469979999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15467999--1.15469937) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dr = 123.469979999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71513433-1.71518227) × cos(-1.15467999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404211256964422 × 6371000     		do = 123.456522274608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71513433-1.71518227) × cos(-1.15469937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404193530668129 × 6371000     		du = 123.451108207445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15467999)-sin(-1.15469937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404211256964422-0.404193530668129)×R²
    abs(1.71518227-1.71513433)×1.77262962930969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77262962930969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77262962930969e-05×40589641000000     		ar = 15242.8400992269m²