Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101314 / 98242
↖ ↑ ↗
← S 66.445302°
E 98.267212°		 ← 122.06 m → S 66.445302°
E 98.269958°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
S 66.446400°
E 98.267212°		 ← 122.05 m →
14 899 m²		 S 66.446400°
E 98.269958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772968292236328 y=0.749530792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772968292236328 × 217)
    floor (0.772968292236328 × 131072)
    floor (101314.5)     		tx = 101314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749530792236328 × 217)
    floor (0.749530792236328 × 131072)
    floor (98242.5)     		ty = 98242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101314 / 98242 ti = "17/101314/98242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101314/98242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101314 ÷ 217
    101314 ÷ 131072     		x = 0.772964477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98242 ÷ 217
    98242 ÷ 131072     		y = 0.749526977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772964477539062 × 2 - 1) × π
    0.545928955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71508639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.499053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56782423897356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71508639} λ = 1.71508639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56782423897356))-π/2
    2×atan(0.208498331750162)-π/2
    2×0.205553518900853-π/2
    0.411107037801707-1.57079632675     		φ = -1.15968929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71508639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.267212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15968929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.445302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101314 KachelY 98242 1.71508639 -1.15968929 98.267212 -66.445302
    Oben rechts KachelX + 1 101315 KachelY 98242 1.71513433 -1.15968929 98.269958 -66.445302
    Unten links KachelX 101314 KachelY + 1 98243 1.71508639 -1.15970845 98.267212 -66.446400
    Unten rechts KachelX + 1 101315 KachelY + 1 98243 1.71513433 -1.15970845 98.269958 -66.446400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15968929--1.15970845) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dl = 122.068359999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15968929--1.15970845) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dr = 122.068359999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71508639-1.71513433) × cos(-1.15968929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399624370019357 × 6371000     		do = 122.055568935116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71508639-1.71513433) × cos(-1.15970845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399606806376639 × 6371000     		du = 122.050204546542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15968929)-sin(-1.15970845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399624370019357-0.399606806376639)×R²
    abs(1.71513433-1.71508639)×1.75636427176551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75636427176551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75636427176551e-05×40589641000000     		ar = 14898.7957180838m²