Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101313 / 98367
↖ ↑ ↗
← S 66.582126°
E 98.264465°		 ← 121.36 m → S 66.582126°
E 98.267212°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.583217°
E 98.264465°		 ← 121.36 m →
14 729 m²		 S 66.583217°
E 98.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772960662841797 y=0.750484466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772960662841797 × 217)
    floor (0.772960662841797 × 131072)
    floor (101313.5)     		tx = 101313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750484466552734 × 217)
    floor (0.750484466552734 × 131072)
    floor (98367.5)     		ty = 98367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101313 / 98367 ti = "17/101313/98367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101313/98367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101313 ÷ 217
    101313 ÷ 131072     		x = 0.772956848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98367 ÷ 217
    98367 ÷ 131072     		y = 0.750480651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772956848144531 × 2 - 1) × π
    0.545913696289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71503846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750480651855469 × 2 - 1) × π
    -0.500961303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57381635142606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71503846} λ = 1.71503846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57381635142606))-π/2
    2×atan(0.207252721944178)-π/2
    2×0.204359505222912-π/2
    0.408719010445824-1.57079632675     		φ = -1.16207732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71503846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.264465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16207732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.582126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101313 KachelY 98367 1.71503846 -1.16207732 98.264465 -66.582126
    Oben rechts KachelX + 1 101314 KachelY 98367 1.71508639 -1.16207732 98.267212 -66.582126
    Unten links KachelX 101313 KachelY + 1 98368 1.71503846 -1.16209637 98.264465 -66.583217
    Unten rechts KachelX + 1 101314 KachelY + 1 98368 1.71508639 -1.16209637 98.267212 -66.583217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16207732--1.16209637) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16207732--1.16209637) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71503846-1.71508639) × cos(-1.16207732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397434175715773 × 6371000     		do = 121.361306688019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71503846-1.71508639) × cos(-1.16209637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39741669477909 × 6371000     		du = 121.355968673708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16207732)-sin(-1.16209637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397434175715773-0.39741669477909)×R²
    abs(1.71508639-1.71503846)×1.74809366829676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74809366829676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74809366829676e-05×40589641000000     		ar = 14729.0005269776m²