Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101313 / 97855
↖ ↑ ↗
← S 66.016902°
E 98.264465°		 ← 124.12 m → S 66.016902°
E 98.267212°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.018018°
E 98.264465°		 ← 124.11 m →
15 404 m²		 S 66.018018°
E 98.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772960662841797 y=0.746578216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772960662841797 × 217)
    floor (0.772960662841797 × 131072)
    floor (101313.5)     		tx = 101313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746578216552734 × 217)
    floor (0.746578216552734 × 131072)
    floor (97855.5)     		ty = 97855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101313 / 97855 ti = "17/101313/97855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101313/97855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101313 ÷ 217
    101313 ÷ 131072     		x = 0.772956848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97855 ÷ 217
    97855 ÷ 131072     		y = 0.746574401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772956848144531 × 2 - 1) × π
    0.545913696289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71503846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746574401855469 × 2 - 1) × π
    -0.493148803710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54927265882059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71503846} λ = 1.71503846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54927265882059))-π/2
    2×atan(0.212402406674229)-π/2
    2×0.20929201432037-π/2
    0.41858402864074-1.57079632675     		φ = -1.15221230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71503846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.264465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15221230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.016902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101313 KachelY 97855 1.71503846 -1.15221230 98.264465 -66.016902
    Oben rechts KachelX + 1 101314 KachelY 97855 1.71508639 -1.15221230 98.267212 -66.016902
    Unten links KachelX 101313 KachelY + 1 97856 1.71503846 -1.15223178 98.264465 -66.018018
    Unten rechts KachelX + 1 101314 KachelY + 1 97856 1.71508639 -1.15223178 98.267212 -66.018018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15221230--1.15223178) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15221230--1.15223178) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71503846-1.71508639) × cos(-1.15221230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406467135242522 × 6371000     		do = 124.119629546017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71503846-1.71508639) × cos(-1.15223178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406449336963359 × 6371000     		du = 124.114194627361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15221230)-sin(-1.15223178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406467135242522-0.406449336963359)×R²
    abs(1.71508639-1.71503846)×1.77982791632614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77982791632614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77982791632614e-05×40589641000000     		ar = 15403.7875381031m²