Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101311 / 98238
↖ ↑ ↗
← S 66.440911°
E 98.258972°		 ← 122.08 m → S 66.440911°
E 98.261719°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.442009°
E 98.258972°		 ← 122.07 m →
14 894 m²		 S 66.442009°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772945404052734 y=0.749500274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772945404052734 × 217)
    floor (0.772945404052734 × 131072)
    floor (101311.5)     		tx = 101311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749500274658203 × 217)
    floor (0.749500274658203 × 131072)
    floor (98238.5)     		ty = 98238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101311 / 98238 ti = "17/101311/98238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101311/98238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101311 ÷ 217
    101311 ÷ 131072     		x = 0.772941589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98238 ÷ 217
    98238 ÷ 131072     		y = 0.749496459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772941589355469 × 2 - 1) × π
    0.545883178710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71494258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749496459960938 × 2 - 1) × π
    -0.498992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56763249137508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71494258} λ = 1.71494258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56763249137508))-π/2
    2×atan(0.208538314637751)-π/2
    2×0.205591835774926-π/2
    0.411183671549852-1.57079632675     		φ = -1.15961266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71494258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15961266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.440911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101311 KachelY 98238 1.71494258 -1.15961266 98.258972 -66.440911
    Oben rechts KachelX + 1 101312 KachelY 98238 1.71499052 -1.15961266 98.261719 -66.440911
    Unten links KachelX 101311 KachelY + 1 98239 1.71494258 -1.15963181 98.258972 -66.442009
    Unten rechts KachelX + 1 101312 KachelY + 1 98239 1.71499052 -1.15963181 98.261719 -66.442009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15961266--1.15963181) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15961266--1.15963181) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71494258-1.71499052) × cos(-1.15961266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		do = 122.07702324164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71494258-1.71499052) × cos(-1.15963181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399677060067258 × 6371000     		du = 122.071661831987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15961266)-sin(-1.15963181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399694613956636-0.399677060067258)×R²
    abs(1.71499052-1.71494258)×1.75538893781302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75538893781302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75538893781302e-05×40589641000000     		ar = 14893.6374356126m²