Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101311 / 97983
↖ ↑ ↗
← S 66.159401°
E 98.258972°		 ← 123.45 m → S 66.159401°
E 98.261719°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.160510°
E 98.258972°		 ← 123.45 m →
15 234 m²		 S 66.160510°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772945404052734 y=0.747554779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772945404052734 × 217)
    floor (0.772945404052734 × 131072)
    floor (101311.5)     		tx = 101311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747554779052734 × 217)
    floor (0.747554779052734 × 131072)
    floor (97983.5)     		ty = 97983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101311 / 97983 ti = "17/101311/97983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101311/97983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101311 ÷ 217
    101311 ÷ 131072     		x = 0.772941589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97983 ÷ 217
    97983 ÷ 131072     		y = 0.747550964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772941589355469 × 2 - 1) × π
    0.545883178710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71494258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747550964355469 × 2 - 1) × π
    -0.495101928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55540858197196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71494258} λ = 1.71494258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55540858197196))-π/2
    2×atan(0.21110311209205)-π/2
    2×0.208048479048544-π/2
    0.416096958097088-1.57079632675     		φ = -1.15469937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71494258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15469937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.159401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101311 KachelY 97983 1.71494258 -1.15469937 98.258972 -66.159401
    Oben rechts KachelX + 1 101312 KachelY 97983 1.71499052 -1.15469937 98.261719 -66.159401
    Unten links KachelX 101311 KachelY + 1 97984 1.71494258 -1.15471874 98.258972 -66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 101312 KachelY + 1 97984 1.71499052 -1.15471874 98.261719 -66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15469937--1.15471874) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dl = 123.406270001179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15469937--1.15471874) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dr = 123.406270001179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71494258-1.71499052) × cos(-1.15469937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404193530668129 × 6371000     		do = 123.451108207445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71494258-1.71499052) × cos(-1.15471874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 123.445696887588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15469937)-sin(-1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404193530668129-0.40417581336684)×R²
    abs(1.71499052-1.71494258)×1.77173012889109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77173012889109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77173012889109e-05×40589641000000     		ar = 15234.3068964457m²