Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101307 / 98075
↖ ↑ ↗
← S 66.261329°
E 98.247986°		 ← 122.93 m → S 66.261329°
E 98.250732°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
S 66.262434°
E 98.247986°		 ← 122.92 m →
15 115 m²		 S 66.262434°
E 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772914886474609 y=0.748256683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772914886474609 × 217)
    floor (0.772914886474609 × 131072)
    floor (101307.5)     		tx = 101307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748256683349609 × 217)
    floor (0.748256683349609 × 131072)
    floor (98075.5)     		ty = 98075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101307 / 98075 ti = "17/101307/98075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101307/98075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101307 ÷ 217
    101307 ÷ 131072     		x = 0.772911071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98075 ÷ 217
    98075 ÷ 131072     		y = 0.748252868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772911071777344 × 2 - 1) × π
    0.545822143554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71475084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748252868652344 × 2 - 1) × π
    -0.496505737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55981877673701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71475084} λ = 1.71475084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55981877673701))-π/2
    2×atan(0.2101741561961)-π/2
    2×0.207158988678536-π/2
    0.414317977357071-1.57079632675     		φ = -1.15647835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71475084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.247986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15647835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.261329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101307 KachelY 98075 1.71475084 -1.15647835 98.247986 -66.261329
    Oben rechts KachelX + 1 101308 KachelY 98075 1.71479877 -1.15647835 98.250732 -66.261329
    Unten links KachelX 101307 KachelY + 1 98076 1.71475084 -1.15649765 98.247986 -66.262434
    Unten rechts KachelX + 1 101308 KachelY + 1 98076 1.71479877 -1.15649765 98.250732 -66.262434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15647835--1.15649765) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15647835--1.15649765) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71475084-1.71479877) × cos(-1.15647835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402565706095033 × 6371000     		do = 122.928281221638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71475084-1.71479877) × cos(-1.15649765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402548038971972 × 6371000     		du = 122.922886353076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15647835)-sin(-1.15649765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402565706095033-0.402548038971972)×R²
    abs(1.71479877-1.71475084)×1.76671230604497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76671230604497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76671230604497e-05×40589641000000     		ar = 15114.966660622m²