Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101307 / 97991
↖ ↑ ↗
← S 66.168280°
E 98.247986°		 ← 123.38 m → S 66.168280°
E 98.250732°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.169390°
E 98.247986°		 ← 123.38 m →
15 226 m²		 S 66.169390°
E 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772914886474609 y=0.747615814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772914886474609 × 217)
    floor (0.772914886474609 × 131072)
    floor (101307.5)     		tx = 101307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747615814208984 × 217)
    floor (0.747615814208984 × 131072)
    floor (97991.5)     		ty = 97991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101307 / 97991 ti = "17/101307/97991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101307/97991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101307 ÷ 217
    101307 ÷ 131072     		x = 0.772911071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97991 ÷ 217
    97991 ÷ 131072     		y = 0.747611999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772911071777344 × 2 - 1) × π
    0.545822143554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.71475084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747611999511719 × 2 - 1) × π
    -0.495223999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55579207716892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71475084} λ = 1.71475084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55579207716892))-π/2
    2×atan(0.211022170583831)-π/2
    2×0.20797098950121-π/2
    0.415941979002419-1.57079632675     		φ = -1.15485435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71475084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.247986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15485435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.168280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101307 KachelY 97991 1.71475084 -1.15485435 98.247986 -66.168280
    Oben rechts KachelX + 1 101308 KachelY 97991 1.71479877 -1.15485435 98.250732 -66.168280
    Unten links KachelX 101307 KachelY + 1 97992 1.71475084 -1.15487372 98.247986 -66.169390
    Unten rechts KachelX + 1 101308 KachelY + 1 97992 1.71479877 -1.15487372 98.250732 -66.169390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15485435--1.15487372) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dl = 123.406270001179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15485435--1.15487372) × R
    1.93700000001851e-05 × 6371000     		dr = 123.406270001179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71475084-1.71479877) × cos(-1.15485435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404051769717395 × 6371000     		do = 123.382068626072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71475084-1.71479877) × cos(-1.15487372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404034051202971 × 6371000     		du = 123.376658064539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15485435)-sin(-1.15487372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404051769717395-0.404034051202971)×R²
    abs(1.71479877-1.71475084)×1.77185144233927e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77185144233927e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77185144233927e-05×40589641000000     		ar = 15225.7870259892m²