Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101306 / 97659
↖ ↑ ↗
← S 65.797147°
E 98.245239°		 ← 125.21 m → S 65.797147°
E 98.247986°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
S 65.798273°
E 98.245239°		 ← 125.21 m →
15 675 m²		 S 65.798273°
E 98.247986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772907257080078 y=0.745082855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772907257080078 × 217)
    floor (0.772907257080078 × 131072)
    floor (101306.5)     		tx = 101306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745082855224609 × 217)
    floor (0.745082855224609 × 131072)
    floor (97659.5)     		ty = 97659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101306 / 97659 ti = "17/101306/97659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101306/97659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101306 ÷ 217
    101306 ÷ 131072     		x = 0.772903442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97659 ÷ 217
    97659 ÷ 131072     		y = 0.745079040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772903442382812 × 2 - 1) × π
    0.545806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71470290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745079040527344 × 2 - 1) × π
    -0.490158081054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.53987702649506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71470290} λ = 1.71470290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53987702649506))-π/2
    2×atan(0.214407466243466)-π/2
    2×0.211209737068459-π/2
    0.422419474136917-1.57079632675     		φ = -1.14837685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71470290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14837685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.797147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101306 KachelY 97659 1.71470290 -1.14837685 98.245239 -65.797147
    Oben rechts KachelX + 1 101307 KachelY 97659 1.71475084 -1.14837685 98.247986 -65.797147
    Unten links KachelX 101306 KachelY + 1 97660 1.71470290 -1.14839650 98.245239 -65.798273
    Unten rechts KachelX + 1 101307 KachelY + 1 97660 1.71475084 -1.14839650 98.247986 -65.798273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14837685--1.14839650) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14837685--1.14839650) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71470290-1.71475084) × cos(-1.14837685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409968454919598 × 6371000     		do = 125.214918720393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71470290-1.71475084) × cos(-1.14839650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40995053208131 × 6371000     		du = 125.209444624246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14837685)-sin(-1.14839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409968454919598-0.40995053208131)×R²
    abs(1.71475084-1.71470290)×1.79228382876651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79228382876651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79228382876651e-05×40589641000000     		ar = 15675.3318060093m²