Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101304 / 98792
↖ ↑ ↗
← S 67.041735°
E 98.239746°		 ← 119.11 m → S 67.041735°
E 98.242493°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.042806°
E 98.239746°		 ← 119.10 m →
14 190 m²		 S 67.042806°
E 98.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772891998291016 y=0.753726959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772891998291016 × 217)
    floor (0.772891998291016 × 131072)
    floor (101304.5)     		tx = 101304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753726959228516 × 217)
    floor (0.753726959228516 × 131072)
    floor (98792.5)     		ty = 98792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101304 / 98792 ti = "17/101304/98792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101304/98792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101304 ÷ 217
    101304 ÷ 131072     		x = 0.77288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98792 ÷ 217
    98792 ÷ 131072     		y = 0.75372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.5074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59418953376459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71460703} λ = 1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59418953376459))-π/2
    2×atan(0.203073045672573)-π/2
    2×0.200348657675404-π/2
    0.400697315350807-1.57079632675     		φ = -1.17009901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17009901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.041735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101304 KachelY 98792 1.71460703 -1.17009901 98.239746 -67.041735
    Oben rechts KachelX + 1 101305 KachelY 98792 1.71465496 -1.17009901 98.242493 -67.041735
    Unten links KachelX 101304 KachelY + 1 98793 1.71460703 -1.17011771 98.239746 -67.042806
    Unten rechts KachelX + 1 101305 KachelY + 1 98793 1.71465496 -1.17011771 98.242493 -67.042806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17009901--1.17011771) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17009901--1.17011771) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71460703-1.71465496) × cos(-1.17009901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390060518879373 × 6371000     		do = 119.109671867931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71460703-1.71465496) × cos(-1.17011771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39004330005272 × 6371000     		du = 119.10441389207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17009901)-sin(-1.17011771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390060518879373-0.39004330005272)×R²
    abs(1.71465496-1.71460703)×1.72188266532314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72188266532314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72188266532314e-05×40589641000000     		ar = 14190.1391428857m²