Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101304 / 98394
↖ ↑ ↗
← S 66.611581°
E 98.239746°		 ← 121.22 m → S 66.611581°
E 98.242493°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.612671°
E 98.239746°		 ← 121.21 m →
14 696 m²		 S 66.612671°
E 98.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772891998291016 y=0.750690460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772891998291016 × 217)
    floor (0.772891998291016 × 131072)
    floor (101304.5)     		tx = 101304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750690460205078 × 217)
    floor (0.750690460205078 × 131072)
    floor (98394.5)     		ty = 98394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101304 / 98394 ti = "17/101304/98394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101304/98394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101304 ÷ 217
    101304 ÷ 131072     		x = 0.77288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98394 ÷ 217
    98394 ÷ 131072     		y = 0.750686645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750686645507812 × 2 - 1) × π
    -0.501373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57511064771581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71460703} λ = 1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57511064771581))-π/2
    2×atan(0.206984649035435)-π/2
    2×0.204102459117798-π/2
    0.408204918235597-1.57079632675     		φ = -1.16259141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16259141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.611581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101304 KachelY 98394 1.71460703 -1.16259141 98.239746 -66.611581
    Oben rechts KachelX + 1 101305 KachelY 98394 1.71465496 -1.16259141 98.242493 -66.611581
    Unten links KachelX 101304 KachelY + 1 98395 1.71460703 -1.16261044 98.239746 -66.612671
    Unten rechts KachelX + 1 101305 KachelY + 1 98395 1.71465496 -1.16261044 98.242493 -66.612671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16259141--1.16261044) × R
    1.90299999998089e-05 × 6371000     		dl = 121.240129998783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16259141--1.16261044) × R
    1.90299999998089e-05 × 6371000     		dr = 121.240129998783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71460703-1.71465496) × cos(-1.16259141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396962378458518 × 6371000     		do = 121.217237719795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71460703-1.71465496) × cos(-1.16261044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396944911988842 × 6371000     		du = 121.211904123158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16259141)-sin(-1.16261044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396962378458518-0.396944911988842)×R²
    abs(1.71465496-1.71460703)×1.74664696758753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74664696758753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74664696758753e-05×40589641000000     		ar = 14696.0703367583m²