Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101303 / 98398
↖ ↑ ↗
← S 66.615942°
E 98.237000°		 ← 121.22 m → S 66.615942°
E 98.239746°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.617032°
E 98.237000°		 ← 121.22 m →
14 689 m²		 S 66.617032°
E 98.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772884368896484 y=0.750720977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772884368896484 × 217)
    floor (0.772884368896484 × 131072)
    floor (101303.5)     		tx = 101303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750720977783203 × 217)
    floor (0.750720977783203 × 131072)
    floor (98398.5)     		ty = 98398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101303 / 98398 ti = "17/101303/98398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101303/98398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101303 ÷ 217
    101303 ÷ 131072     		x = 0.772880554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98398 ÷ 217
    98398 ÷ 131072     		y = 0.750717163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772880554199219 × 2 - 1) × π
    0.545761108398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71455909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750717163085938 × 2 - 1) × π
    -0.501434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57530239531429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71455909} λ = 1.71455909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57530239531429))-π/2
    2×atan(0.206944964030934)-π/2
    2×0.204064404175123-π/2
    0.408128808350246-1.57079632675     		φ = -1.16266752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71455909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.237000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16266752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.615942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101303 KachelY 98398 1.71455909 -1.16266752 98.237000 -66.615942
    Oben rechts KachelX + 1 101304 KachelY 98398 1.71460703 -1.16266752 98.239746 -66.615942
    Unten links KachelX 101303 KachelY + 1 98399 1.71455909 -1.16268654 98.237000 -66.617032
    Unten rechts KachelX + 1 101304 KachelY + 1 98399 1.71460703 -1.16268654 98.239746 -66.617032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16266752--1.16268654) × R
    1.90199999998697e-05 × 6371000     		dl = 121.17641999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16266752--1.16268654) × R
    1.90199999998697e-05 × 6371000     		dr = 121.17641999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71455909-1.71460703) × cos(-1.16266752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39689252089599 × 6371000     		do = 121.221191895044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71455909-1.71460703) × cos(-1.16268654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396875063030154 × 6371000     		du = 121.215859813452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16266752)-sin(-1.16268654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39689252089599-0.396875063030154)×R²
    abs(1.71460703-1.71455909)×1.74578658360125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74578658360125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74578658360125e-05×40589641000000     		ar = 14688.8270010222m²