Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101302 / 98301
↖ ↑ ↗
← S 66.509976°
E 98.234253°		 ← 121.74 m → S 66.509976°
E 98.237000°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
S 66.511071°
E 98.234253°		 ← 121.73 m →
14 821 m²		 S 66.511071°
E 98.237000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772876739501953 y=0.749980926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772876739501953 × 217)
    floor (0.772876739501953 × 131072)
    floor (101302.5)     		tx = 101302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749980926513672 × 217)
    floor (0.749980926513672 × 131072)
    floor (98301.5)     		ty = 98301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101302 / 98301 ti = "17/101302/98301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101302/98301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101302 ÷ 217
    101302 ÷ 131072     		x = 0.772872924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98301 ÷ 217
    98301 ÷ 131072     		y = 0.749977111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772872924804688 × 2 - 1) × π
    0.545745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71451115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749977111816406 × 2 - 1) × π
    -0.499954223632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57065251605114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71451115} λ = 1.71451115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57065251605114))-π/2
    2×atan(0.207909473816986)-π/2
    2×0.204989126740901-π/2
    0.409978253481801-1.57079632675     		φ = -1.16081807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71451115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16081807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.509976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101302 KachelY 98301 1.71451115 -1.16081807 98.234253 -66.509976
    Oben rechts KachelX + 1 101303 KachelY 98301 1.71455909 -1.16081807 98.237000 -66.509976
    Unten links KachelX 101302 KachelY + 1 98302 1.71451115 -1.16083718 98.234253 -66.511071
    Unten rechts KachelX + 1 101303 KachelY + 1 98302 1.71455909 -1.16083718 98.237000 -66.511071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16081807--1.16083718) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16081807--1.16083718) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71451115-1.71455909) × cos(-1.16081807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398589386744045 × 6371000     		do = 121.739458402366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71451115-1.71455909) × cos(-1.16083718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398571860326718 × 6371000     		du = 121.734105383385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16081807)-sin(-1.16083718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398589386744045-0.398571860326718)×R²
    abs(1.71455909-1.71451115)×1.75264173268852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75264173268852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75264173268852e-05×40589641000000     		ar = 14821.4300660181m²