Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101302 / 97658
↖ ↑ ↗
← S 65.796021°
E 98.234253°		 ← 125.22 m → S 65.796021°
E 98.237000°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
S 65.797147°
E 98.234253°		 ← 125.21 m →
15 676 m²		 S 65.797147°
E 98.237000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772876739501953 y=0.745075225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772876739501953 × 217)
    floor (0.772876739501953 × 131072)
    floor (101302.5)     		tx = 101302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745075225830078 × 217)
    floor (0.745075225830078 × 131072)
    floor (97658.5)     		ty = 97658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101302 / 97658 ti = "17/101302/97658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101302/97658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101302 ÷ 217
    101302 ÷ 131072     		x = 0.772872924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97658 ÷ 217
    97658 ÷ 131072     		y = 0.745071411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772872924804688 × 2 - 1) × π
    0.545745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71451115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745071411132812 × 2 - 1) × π
    -0.490142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53982908959544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71451115} λ = 1.71451115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53982908959544))-π/2
    2×atan(0.214417744519006)-π/2
    2×0.211219563591557-π/2
    0.422439127183115-1.57079632675     		φ = -1.14835720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71451115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14835720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.796021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101302 KachelY 97658 1.71451115 -1.14835720 98.234253 -65.796021
    Oben rechts KachelX + 1 101303 KachelY 97658 1.71455909 -1.14835720 98.237000 -65.796021
    Unten links KachelX 101302 KachelY + 1 97659 1.71451115 -1.14837685 98.234253 -65.797147
    Unten rechts KachelX + 1 101303 KachelY + 1 97659 1.71455909 -1.14837685 98.237000 -65.797147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14835720--1.14837685) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14835720--1.14837685) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71451115-1.71455909) × cos(-1.14835720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409986377599587 × 6371000     		do = 125.220392768191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71451115-1.71455909) × cos(-1.14837685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409968454919598 × 6371000     		du = 125.214918720393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14835720)-sin(-1.14837685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409986377599587-0.409968454919598)×R²
    abs(1.71455909-1.71451115)×1.79226799896792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79226799896792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79226799896792e-05×40589641000000     		ar = 15676.0171058136m²