Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101301 / 98773
↖ ↑ ↗
← S 67.021371°
E 98.231506°		 ← 119.23 m → S 67.021371°
E 98.234253°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
S 67.022443°
E 98.231506°		 ← 119.23 m →
14 220 m²		 S 67.022443°
E 98.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772869110107422 y=0.753582000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772869110107422 × 217)
    floor (0.772869110107422 × 131072)
    floor (101301.5)     		tx = 101301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753582000732422 × 217)
    floor (0.753582000732422 × 131072)
    floor (98773.5)     		ty = 98773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101301 / 98773 ti = "17/101301/98773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101301/98773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101301 ÷ 217
    101301 ÷ 131072     		x = 0.772865295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98773 ÷ 217
    98773 ÷ 131072     		y = 0.753578186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772865295410156 × 2 - 1) × π
    0.545730590820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71446321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753578186035156 × 2 - 1) × π
    -0.507156372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59327873267181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71446321} λ = 1.71446321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59327873267181))-π/2
    2×atan(0.203258089080563)-π/2
    2×0.200526365952107-π/2
    0.401052731904215-1.57079632675     		φ = -1.16974359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71446321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.231506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16974359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.021371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101301 KachelY 98773 1.71446321 -1.16974359 98.231506 -67.021371
    Oben rechts KachelX + 1 101302 KachelY 98773 1.71451115 -1.16974359 98.234253 -67.021371
    Unten links KachelX 101301 KachelY + 1 98774 1.71446321 -1.16976231 98.231506 -67.022443
    Unten rechts KachelX + 1 101302 KachelY + 1 98774 1.71451115 -1.16976231 98.234253 -67.022443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16974359--1.16976231) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dl = 119.265120000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16974359--1.16976231) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dr = 119.265120000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71446321-1.71451115) × cos(-1.16974359) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390387761140935 × 6371000     		do = 119.234470833887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71446321-1.71451115) × cos(-1.16976231) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390370526494636 × 6371000     		du = 119.229206929288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16974359)-sin(-1.16976231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390387761140935-0.390370526494636)×R²
    abs(1.71451115-1.71446321)×1.723464629938e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.723464629938e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.723464629938e-05×40589641000000     		ar = 14220.1995725378m²