Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101301 / 98059
↖ ↑ ↗
← S 66.243632°
E 98.231506°		 ← 123.04 m → S 66.243632°
E 98.234253°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.244738°
E 98.231506°		 ← 123.03 m →
15 137 m²		 S 66.244738°
E 98.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772869110107422 y=0.748134613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772869110107422 × 217)
    floor (0.772869110107422 × 131072)
    floor (101301.5)     		tx = 101301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748134613037109 × 217)
    floor (0.748134613037109 × 131072)
    floor (98059.5)     		ty = 98059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101301 / 98059 ti = "17/101301/98059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101301/98059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101301 ÷ 217
    101301 ÷ 131072     		x = 0.772865295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98059 ÷ 217
    98059 ÷ 131072     		y = 0.748130798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772865295410156 × 2 - 1) × π
    0.545730590820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71446321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748130798339844 × 2 - 1) × π
    -0.496261596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55905178634309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71446321} λ = 1.71446321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55905178634309))-π/2
    2×atan(0.210335419590784)-π/2
    2×0.207313424899223-π/2
    0.414626849798446-1.57079632675     		φ = -1.15616948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71446321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.231506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15616948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.243632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101301 KachelY 98059 1.71446321 -1.15616948 98.231506 -66.243632
    Oben rechts KachelX + 1 101302 KachelY 98059 1.71451115 -1.15616948 98.234253 -66.243632
    Unten links KachelX 101301 KachelY + 1 98060 1.71446321 -1.15618879 98.231506 -66.244738
    Unten rechts KachelX + 1 101302 KachelY + 1 98060 1.71451115 -1.15618879 98.234253 -66.244738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15616948--1.15618879) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dl = 123.024010000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15616948--1.15618879) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dr = 123.024010000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71446321-1.71451115) × cos(-1.15616948) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402848423734766 × 6371000     		do = 123.040277927514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71446321-1.71451115) × cos(-1.15618879) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402830749859521 × 6371000     		du = 123.034879871088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15616948)-sin(-1.15618879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402848423734766-0.402830749859521)×R²
    abs(1.71451115-1.71446321)×1.76738752443728e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76738752443728e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76738752443728e-05×40589641000000     		ar = 15136.5763373884m²