Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101300 / 98419
↖ ↑ ↗
← S 66.638824°
E 98.228760°		 ← 121.08 m → S 66.638824°
E 98.231506°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.639912°
E 98.228760°		 ← 121.08 m →
14 657 m²		 S 66.639912°
E 98.231506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772861480712891 y=0.750881195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772861480712891 × 217)
    floor (0.772861480712891 × 131072)
    floor (101300.5)     		tx = 101300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750881195068359 × 217)
    floor (0.750881195068359 × 131072)
    floor (98419.5)     		ty = 98419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101300 / 98419 ti = "17/101300/98419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101300/98419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101300 ÷ 217
    101300 ÷ 131072     		x = 0.772857666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98419 ÷ 217
    98419 ÷ 131072     		y = 0.750877380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71441528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750877380371094 × 2 - 1) × π
    -0.501754760742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57630907020631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71441528} λ = 1.71441528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57630907020631))-π/2
    2×atan(0.206736742554864)-π/2
    2×0.203864725576802-π/2
    0.407729451153604-1.57079632675     		φ = -1.16306688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71441528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16306688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.638824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101300 KachelY 98419 1.71441528 -1.16306688 98.228760 -66.638824
    Oben rechts KachelX + 1 101301 KachelY 98419 1.71446321 -1.16306688 98.231506 -66.638824
    Unten links KachelX 101300 KachelY + 1 98420 1.71441528 -1.16308588 98.228760 -66.639912
    Unten rechts KachelX + 1 101301 KachelY + 1 98420 1.71446321 -1.16308588 98.231506 -66.639912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16306688--1.16308588) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16306688--1.16308588) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71441528-1.71446321) × cos(-1.16306688) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39652593065277 × 6371000     		do = 121.083963131282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71441528-1.71446321) × cos(-1.16308588) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.396508488134287 × 6371000     		du = 121.07863684843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16306688)-sin(-1.16308588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39652593065277-0.396508488134287)×R²
    abs(1.71446321-1.71441528)×1.74425184834015e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.74425184834015e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.74425184834015e-05×40589641000000     		ar = 14656.7702829287m²