Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101300 / 97653
↖ ↑ ↗
← S 65.790390°
E 98.228760°		 ← 125.22 m → S 65.790390°
E 98.231506°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.791516°
E 98.228760°		 ← 125.22 m →
15 684 m²		 S 65.791516°
E 98.231506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772861480712891 y=0.745037078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772861480712891 × 217)
    floor (0.772861480712891 × 131072)
    floor (101300.5)     		tx = 101300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745037078857422 × 217)
    floor (0.745037078857422 × 131072)
    floor (97653.5)     		ty = 97653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101300 / 97653 ti = "17/101300/97653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101300/97653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101300 ÷ 217
    101300 ÷ 131072     		x = 0.772857666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97653 ÷ 217
    97653 ÷ 131072     		y = 0.745033264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71441528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745033264160156 × 2 - 1) × π
    -0.490066528320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53958940509734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71441528} λ = 1.71441528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53958940509734))-π/2
    2×atan(0.214469143287983)-π/2
    2×0.211268702652145-π/2
    0.422537405304291-1.57079632675     		φ = -1.14825892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71441528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14825892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.790390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101300 KachelY 97653 1.71441528 -1.14825892 98.228760 -65.790390
    Oben rechts KachelX + 1 101301 KachelY 97653 1.71446321 -1.14825892 98.231506 -65.790390
    Unten links KachelX 101300 KachelY + 1 97654 1.71441528 -1.14827858 98.228760 -65.791516
    Unten rechts KachelX + 1 101301 KachelY + 1 97654 1.71446321 -1.14827858 98.231506 -65.791516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14825892--1.14827858) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14825892--1.14827858) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71441528-1.71446321) × cos(-1.14825892) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.410076015986363 × 6371000     		do = 125.221644695405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71441528-1.71446321) × cos(-1.14827858) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.410058084977615 × 6371000     		du = 125.216169246174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14825892)-sin(-1.14827858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410076015986363-0.410058084977615)×R²
    abs(1.71446321-1.71441528)×1.79310087479179e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.79310087479179e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.79310087479179e-05×40589641000000     		ar = 15684.1514436779m²