Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101298 / 98735
↖ ↑ ↗
← S 66.980592°
E 98.223266°		 ← 119.43 m → S 66.980592°
E 98.226013°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.981666°
E 98.223266°		 ← 119.43 m →
14 259 m²		 S 66.981666°
E 98.226013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772846221923828 y=0.753292083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772846221923828 × 217)
    floor (0.772846221923828 × 131072)
    floor (101298.5)     		tx = 101298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753292083740234 × 217)
    floor (0.753292083740234 × 131072)
    floor (98735.5)     		ty = 98735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101298 / 98735 ti = "17/101298/98735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101298/98735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101298 ÷ 217
    101298 ÷ 131072     		x = 0.772842407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98735 ÷ 217
    98735 ÷ 131072     		y = 0.753288269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772842407226562 × 2 - 1) × π
    0.545684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71431940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753288269042969 × 2 - 1) × π
    -0.506576538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59145713048624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71431940} λ = 1.71431940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59145713048624))-π/2
    2×atan(0.203628681893728)-π/2
    2×0.200882229836417-π/2
    0.401764459672835-1.57079632675     		φ = -1.16903187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71431940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.223266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16903187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.980592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101298 KachelY 98735 1.71431940 -1.16903187 98.223266 -66.980592
    Oben rechts KachelX + 1 101299 KachelY 98735 1.71436734 -1.16903187 98.226013 -66.980592
    Unten links KachelX 101298 KachelY + 1 98736 1.71431940 -1.16905061 98.223266 -66.981666
    Unten rechts KachelX + 1 101299 KachelY + 1 98736 1.71436734 -1.16905061 98.226013 -66.981666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16903187--1.16905061) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16903187--1.16905061) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71431940-1.71436734) × cos(-1.16903187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391042907605336 × 6371000     		do = 119.434569427033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71431940-1.71436734) × cos(-1.16905061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391025659756983 × 6371000     		du = 119.429301490186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16903187)-sin(-1.16905061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391042907605336-0.391025659756983)×R²
    abs(1.71436734-1.71431940)×1.7247848353219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7247848353219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7247848353219e-05×40589641000000     		ar = 14259.282131898m²