Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101297 / 98833
↖ ↑ ↗
← S 67.085620°
E 98.220520°		 ← 118.89 m → S 67.085620°
E 98.223266°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.086689°
E 98.220520°		 ← 118.89 m →
14 134 m²		 S 67.086689°
E 98.223266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772838592529297 y=0.754039764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772838592529297 × 217)
    floor (0.772838592529297 × 131072)
    floor (101297.5)     		tx = 101297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754039764404297 × 217)
    floor (0.754039764404297 × 131072)
    floor (98833.5)     		ty = 98833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101297 / 98833 ti = "17/101297/98833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101297/98833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101297 ÷ 217
    101297 ÷ 131072     		x = 0.772834777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98833 ÷ 217
    98833 ÷ 131072     		y = 0.754035949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772834777832031 × 2 - 1) × π
    0.545669555664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71427147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754035949707031 × 2 - 1) × π
    -0.508071899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59615494664901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71427147} λ = 1.71427147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59615494664901))-π/2
    2×atan(0.202674315255432)-π/2
    2×0.199965689368783-π/2
    0.399931378737565-1.57079632675     		φ = -1.17086495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71427147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.220520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17086495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.085620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101297 KachelY 98833 1.71427147 -1.17086495 98.220520 -67.085620
    Oben rechts KachelX + 1 101298 KachelY 98833 1.71431940 -1.17086495 98.223266 -67.085620
    Unten links KachelX 101297 KachelY + 1 98834 1.71427147 -1.17088361 98.220520 -67.086689
    Unten rechts KachelX + 1 101298 KachelY + 1 98834 1.71431940 -1.17088361 98.223266 -67.086689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17086495--1.17088361) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17086495--1.17088361) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71427147-1.71431940) × cos(-1.17086495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389355135234282 × 6371000     		do = 118.894274486138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71427147-1.71431940) × cos(-1.17088361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389337947669736 × 6371000     		du = 118.889026056537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17086495)-sin(-1.17088361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389355135234282-0.389337947669736)×R²
    abs(1.71431940-1.71427147)×1.71875645462727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71875645462727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71875645462727e-05×40589641000000     		ar = 14134.1794146945m²