Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101296 / 98160
↖ ↑ ↗
← S 66.355136°
E 98.217773°		 ← 122.50 m → S 66.355136°
E 98.220520°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.356238°
E 98.217773°		 ← 122.49 m →
15 007 m²		 S 66.356238°
E 98.220520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772830963134766 y=0.748905181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772830963134766 × 217)
    floor (0.772830963134766 × 131072)
    floor (101296.5)     		tx = 101296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748905181884766 × 217)
    floor (0.748905181884766 × 131072)
    floor (98160.5)     		ty = 98160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101296 / 98160 ti = "17/101296/98160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101296/98160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101296 ÷ 217
    101296 ÷ 131072     		x = 0.7728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98160 ÷ 217
    98160 ÷ 131072     		y = 0.7489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71422353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7489013671875 × 2 - 1) × π
    -0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71422353} λ = 1.71422353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56389341320471))-π/2
    2×atan(0.209319515272673)-π/2
    2×0.206340362231591-π/2
    0.412680724463183-1.57079632675     		φ = -1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71422353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101296 KachelY 98160 1.71422353 -1.15811560 98.217773 -66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 101297 KachelY 98160 1.71427147 -1.15811560 98.220520 -66.355136
    Unten links KachelX 101296 KachelY + 1 98161 1.71422353 -1.15813483 98.217773 -66.356238
    Unten rechts KachelX + 1 101297 KachelY + 1 98161 1.71427147 -1.15813483 98.220520 -66.356238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15811560--1.15813483) × R
    1.92300000001477e-05 × 6371000     		dl = 122.514330000941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15811560--1.15813483) × R
    1.92300000001477e-05 × 6371000     		dr = 122.514330000941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71422353-1.71427147) × cos(-1.15811560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 122.496015185788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71422353-1.71427147) × cos(-1.15813483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401048827446408 × 6371000     		du = 122.490634898871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15811560)-sin(-1.15813483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.401048827446408)×R²
    abs(1.71427147-1.71422353)×1.76156957717444e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76156957717444e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76156957717444e-05×40589641000000     		ar = 15007.1876475417m²