Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101295 / 97671
↖ ↑ ↗
← S 65.810655°
E 98.215027°		 ← 125.15 m → S 65.810655°
E 98.217773°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
S 65.811781°
E 98.215027°		 ← 125.14 m →
15 659 m²		 S 65.811781°
E 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772823333740234 y=0.745174407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772823333740234 × 217)
    floor (0.772823333740234 × 131072)
    floor (101295.5)     		tx = 101295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745174407958984 × 217)
    floor (0.745174407958984 × 131072)
    floor (97671.5)     		ty = 97671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101295 / 97671 ti = "17/101295/97671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101295/97671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101295 ÷ 217
    101295 ÷ 131072     		x = 0.772819519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97671 ÷ 217
    97671 ÷ 131072     		y = 0.745170593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772819519042969 × 2 - 1) × π
    0.545639038085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71417559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745170593261719 × 2 - 1) × π
    -0.490341186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.5404522692905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71417559} λ = 1.71417559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5404522692905))-π/2
    2×atan(0.214284165360593)-π/2
    2×0.211091852298746-π/2
    0.422183704597493-1.57079632675     		φ = -1.14861262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71417559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14861262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.810655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101295 KachelY 97671 1.71417559 -1.14861262 98.215027 -65.810655
    Oben rechts KachelX + 1 101296 KachelY 97671 1.71422353 -1.14861262 98.217773 -65.810655
    Unten links KachelX 101295 KachelY + 1 97672 1.71417559 -1.14863226 98.215027 -65.811781
    Unten rechts KachelX + 1 101296 KachelY + 1 97672 1.71422353 -1.14863226 98.217773 -65.811781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14861262--1.14863226) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dl = 125.126440000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14861262--1.14863226) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dr = 125.126440000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71417559-1.71422353) × cos(-1.14861262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409753397780344 × 6371000     		do = 125.149234734494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71417559-1.71422353) × cos(-1.14863226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409735482165305 × 6371000     		du = 125.143762844513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14861262)-sin(-1.14863226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409753397780344-0.409735482165305)×R²
    abs(1.71422353-1.71417559)×1.79156150390547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79156150390547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79156150390547e-05×40589641000000     		ar = 15659.1358726471m²